Em uma creche, um móbile sensorial protegido por uma estrutura transparente tem uma peça que oscila…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, movimentos cíclicos, entre outros) e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de álgebra e geometria.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma creche, um móbile sensorial protegido por uma estrutura transparente tem uma peça que oscila verticalmente por ação de um mecanismo. Sua altura em relação ao piso varia de forma periódica, entre 0,9 m e 1,5 m, e a peça inicia cada ciclo na altura máxima. O mecanismo completa um ciclo a cada 8 segundos. Para tornar o movimento mais rápido, a equipe ajusta o mecanismo para realizar o dobro de ciclos por segundo, sem alterar os extremos da oscilação. Qual função representa a altura h(t), em metros, da peça após o ajuste, em que t é o tempo em segundos?
- A) h(t) = 1,2 + 0,3 sin((pi/2)t)
- B) h(t) = 1,2 + 0,3 cos((pi/4)t)
- C) h(t) = 1,2 + 0,3 cos((pi/2)t)
- D) h(t) = 1,2 + 0,6 cos((pi/2)t)
- E) h(t) = 1,5 + 0,3 cos((pi/2)t)
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- A altura média é (1,5 + 0,9)/2 = 1,2 m, e a amplitude é (1,5 - 0,9)/2 = 0,3 m.
- O período original é 8 s. Dobrar os ciclos por segundo reduz o período à metade: T = 4 s. Assim, a frequência angular é 2π/T = π/2 rad/s.
- Como a peça começa na altura máxima, o modelo deve usar cosseno sem deslocamento de fase: h(t) = 1,2 + 0,3 cos((π/2)t), alternativa C.
- A não começa no máximo; B mantém o período original e também não começa no máximo; D usa amplitude 0,6 m; E usa 1,5 m como linha média, fazendo a altura máxima ultrapassar os extremos indicados.
💡 Dica: Determine a linha média e a amplitude; dobrar a frequência reduz o período à metade.
Alternativa por alternativa
Usa a amplitude e a frequência ajustada corretas, mas escolhe seno, que em t = 0 começa na altura média, não na altura máxima.
Mantém a frequência angular π/4 do ciclo original, em vez de dobrar os ciclos por segundo; além disso, o seno/cosseno não está ajustado para começar na altura máxima? O cosseno começa no máximo, mas o período está incorreto.
Por que engana: Manter o período original ou escolher seno apesar de a peça começar na altura máxima.
A altura média é (0,9 + 1,5)/2 = 1,2 m e a amplitude é (1,5 - 0,9)/2 = 0,3 m. Ao dobrar a frequência, o período passa de 8 para 4 segundos, então a frequência angular é 2pi/4 = pi/2. Como o ciclo começa na altura máxima, usa-se o cosseno sem deslocamento de fase.
Interpreta a diferença total entre as alturas extremas, 0,6 m, como amplitude; a amplitude é metade dessa diferença.
Usa a altura máxima como linha média, em vez de calcular o ponto médio entre 0,9 m e 1,5 m, o que desloca toda a oscilação para cima.
Raio-X da questão
Modelagem de movimento periódico com função cosseno.
fixacao
Leitura da amplitude e da linha média em uma função trigonométrica. · Relação entre período e frequência.
Período, frequência, amplitude e linha média de funções trigonométricas.
Manter o período original ou escolher seno apesar de a peça começar na altura máxima.
cientifico
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