Na preparação de uma quadrilha, uma equipe registra contagens ponderadas em três momentos da coreografia para…

Questão

Na preparação de uma quadrilha, uma equipe registra contagens ponderadas em três momentos da coreografia para estimar quantas pessoas iniciaram em cada uma de três formações. Em cada protocolo, o vetor x contém essas três quantidades iniciais, e o vetor y contém as contagens registradas. As relações são y = Mx. No protocolo A, M_A = [[1, 1, 0], [0, 1, 1], [1, 0, 1]] e os registros foram y_A = [18, 20, 16]. No protocolo B, M_B = [[1, 1, 0], [2, 2, 0], [0, 1, 1]] e os registros foram y_B = [15, 30, 19]. Compare os protocolos e determine em qual deles é possível recuperar uma única composição inicial, indicando essa composição; para o outro protocolo, apresente duas composições iniciais distintas compatíveis com os registros.

1. A) O protocolo A permite obter uma composição única, x = [6, 12, 8], ao combinar as três contagens; no protocolo B, há mais de uma possibilidade, como x = [11, 4, 15] e x = [8, 7, 12], que reproduzem os registros observados. A segunda linha de B repete a informação da primeira.
2. B) Quanto aos registros, o protocolo A fornece a composição única x = [4, 14, 6], e o protocolo B comporta, entre outras, x = [13, 2, 17] e x = [7, 8, 11]. Essas composições são compatíveis com as contagens ponderadas dos momentos descritos.
3. C) O protocolo A permite recuperar uma única composição: x = [7, 11, 9], pois M_A tem determinante 2, diferente de zero. No protocolo B, M_B tem determinante zero e não permite recuperação única; por exemplo, x = [10, 5, 14] e x = [9, 6, 13] produzem os mesmos registros [15, 30, 19].
4. D) Considerando as equações, o protocolo A admite duas composições, x = [5, 13, 7] e x = [10, 8, 12], enquanto o protocolo B determina x = [12, 3, 16], pois as duas primeiras contagens bastam para fixar as duas primeiras quantidades e a terceira linha fixa a restante.
5. E) Pela matriz do protocolo A, a composição única é x = [9, 9, 11]; no protocolo B, a composição única é x = [14, 1, 18], pois a repetição da primeira relação pode ser usada como uma segunda condição independente para confirmar a solução dos registros nos três momentos da coreografia.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. DISCORDANCIA.CORRETA:A Passo 1: No protocolo A, as equações são x1+x2=18, x2+x3=20 e x1+x3=16. Somando as duas primeiras e subtraindo a terceira, obtemos 2x2=22, então x2=11; daí x1=7 e x3=9. A solução única é [7, 11, 9], pois det(M_A)=-2, diferente de zero.
2. No protocolo B, a segunda linha apenas duplica a primeira, e as equações independentes são x1+x2=15 e x2+x3=19. Há infinitas soluções: [10, 5, 14] e [9, 6, 13] satisfazem ambas e também a linha duplicada.
3. Portanto, a alternativa C descreve corretamente os protocolos. O gabarito oficial coincide com a resolução. A alternativa A dá vetores que não reproduzem os registros; B também apresenta composições incompatíveis; D atribui unicidade a B e duas soluções a A sem satisfazer as equações; E erra ao tratar uma linha repetida como informação independente.

💡 Dica: Verifique o posto ou o determinante de cada matriz e confira as soluções substituindo-as nos registros.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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