Matemática3ª sérieDifícil⏱ medio

Durante a calibração de um satélite, uma leitura de dois sensores é representada pelo vetor v = (2, 1). O…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Questão

Durante a calibração de um satélite, uma leitura de dois sensores é representada pelo vetor v = (2, 1). O sistema aplica a matriz C = [[2, 1], [1, 1]] para calibrar a leitura e, em seguida, a matriz R = [[0, -1], [1, 0]] para converter suas coordenadas. Uma engenheira afirma que inverter a ordem dessas duas operações mantém o mesmo vetor de saída, pois ambas são transformações lineares. Considerando o texto, como essa afirmação deve ser avaliada?

A) Verdadeira: as duas operações produzem (2, 1), pois a conversão preserva a leitura inicial.
B) Verdadeira: as duas operações produzem (0, -3), pois a matriz C e a rotação comutam.
C) Falsa: a sequência indicada produz (-1, 4), mas a ordem invertida produz (-2, 2).
D) Falsa: a sequência indicada produz (-3, 5), mas a ordem invertida produz (0, 1).
E) Incorreta: a sequência indicada produz (-2, 3), mas a ordem invertida produz (1, 3).

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

DISCORDANCIA.CORRETA:C Passo 1: Na sequência indicada, aplicamos primeiro C: C(2, 1) = (2·2 + 1·1, 1·2 + 1·1) = (5, 3). Depois aplicamos R: R(5, 3) = (-3, 5).
Na ordem invertida, aplicamos primeiro R: R(2, 1) = (-1, 2). Depois C: C(-1, 2) = (2·(-1) + 2, -1 + 2) = (0, 1).
Portanto, as operações não comutam: a sequência indicada dá (-3, 5) e a invertida dá (0, 1). A alternativa D está correta, em concordância com o gabarito oficial.

💡 Dica: Calcule C·v e R·(C·v); depois compare com C·(R·v).

Alternativa por alternativa

A Errada

Mantém o vetor de entrada nas duas etapas: (2, 1) e (2, 1). Isso trata a matriz de conversão como se preservasse as coordenadas, mas R(2, 1) = (-1, 2), portanto a conversão altera a leitura.

B Errada

Lê o elemento inferior direito de C como -1 e calcula, após Rv = (-1, 2), C(Rv) = (2*-1+1*2, 1*-1-1*2) = (0, -3). Em seguida, atribui esse mesmo resultado à outra ordem por supor que transformações lineares comutam. Linearidade não implica comutatividade entre matrizes.

C Erradaa que mais engana

Considera C como se fossem apenas seus elementos da diagonal: C v = (2*2, 1*1) = (4, 1). Então R(4, 1) = (-1, 4). Na ordem inversa, Rv = (-1, 2) e usa C(Rv) = (2*-1, 1*2) = (-2, 2). Isso ignora os termos fora da diagonal de C.

Por que engana: Supor que transformações lineares comutam ou aplicar as matrizes na ordem errada.

D Correta

Aplicando C antes de R, obtém-se C v = (5, 3) e depois R(C v) = (-3, 5). Na ordem inversa, R v = (-1, 2) e C(R v) = (0, 1); portanto, os resultados diferem.

E Errada

Troca as multiplicações da matriz por somas: C v = (2+1, 1+1) = (3, 2), e R(3, 2) = (-2, 3). Na ordem inversa, Rv = (-1, 2) e obtém (-1+2, 2+1) = (1, 3). A multiplicação matriz-vetor exige multiplicar cada entrada pelo componente correspondente antes de somar.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom analisar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

Composição de transformações lineares e não comutatividade de matrizes.

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

Multiplicação de matriz por vetor. · Operações com números inteiros.

📚 Reveja

Multiplicação de matrizes por vetores e ordem das operações.

⚠️ Erro mais comum

Supor que transformações lineares comutam ou aplicar as matrizes na ordem errada.

🏫 Contexto

cientifico

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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.

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