Na etapa final de uma olimpíada de matemática, sete estudantes disputam as três posições do pódio: primeiro…

Questão

Na etapa final de uma olimpíada de matemática, sete estudantes disputam as três posições do pódio: primeiro, segundo e terceiro lugar. A organização descreve as possibilidades por uma representação em camadas: a primeira camada corresponde à escolha do estudante que ocupará o primeiro lugar, a segunda à escolha do segundo e a terceira à escolha do terceiro. Em cada camada, só podem seguir os estudantes ainda não escolhidos. Para uma cerimônia especial, a organização considera apenas pódios em que exatamente um dos dois finalistas Ana e Bruno apareça entre os três colocados. Quantos pódios ordenados atendem à condição da cerimônia especial? Apresente o raciocínio multiplicativo usado para determinar a quantidade.

1. A) Há 180 pódios ordenados. Escolhe-se qual dos dois finalistas estará no pódio e em qual das três posições ficará. Para as posições seguintes, consideram-se seis estudantes disponíveis para a primeira e cinco para a última, contando entre eles também o outro finalista. Assim, 2 x 3 x 6 x 5 = 180.
2. B) Há 90 pódios ordenados. Escolhe-se qual dos dois finalistas estará no pódio e em qual das três posições ficará. Restam cinco estudantes possíveis para ocupar a primeira posição disponível e, em seguida, são consideradas três opções para a última posição. Pelo princípio multiplicativo, 2 x 3 x 5 x 3 = 90.
3. C) Há 240 pódios ordenados. Escolhe-se qual dos dois finalistas estará no pódio e em qual das três posições ficará. As outras duas posições são preenchidas, em ordem, por dois dos cinco estudantes restantes. Como a escolha entre Ana e Bruno é contada de novo ao final, o produto fica 2 x 3 x 5 x 4 x 2 = 240.
4. D) Há 120 pódios ordenados. Escolhe-se qual dos dois finalistas, Ana ou Bruno, estará no pódio (2 possibilidades) e em qual das três posições ficará (3 possibilidades). As outras duas posições são preenchidas, em ordem, por dois dos cinco estudantes restantes (5 possibilidades para a primeira posição disponível e 4 para a outra). Assim, 2 x 3 x 5 x 4 = 120.
5. E) Há 60 pódios ordenados. Escolhe-se qual dos dois finalistas estará no pódio e em qual das três posições ficará. Para as duas posições restantes, são escolhidos dois dos cinco estudantes disponíveis, mas considera-se que a ordem entre eles não altera o pódio. Assim, 2 x 3 x 5 x 2 = 60.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. A condição exige que exatamente um entre Ana e Bruno esteja no pódio. Há 2 escolhas para esse estudante e 3 escolhas para a posição que ocupará.
2. Depois dessa escolha, restam 5 estudantes que não são Ana nem Bruno. As duas posições livres são distintas e ordenadas: há 5 opções para a primeira e 4 para a segunda.
3. Pelo princípio multiplicativo, 2 x 3 x 5 x 4 = 120 pódios. Portanto, D está correta.
4. A erra ao incluir o outro finalista entre os estudantes disponíveis, permitindo pódios com Ana e Bruno. B usa fatores incorretos para preencher as posições restantes. C conta novamente a escolha entre Ana e Bruno, duplicando os casos. E ignora a ordem das duas posições restantes, embora segundo e terceiro lugares sejam diferentes. O resultado coincide com o gabarito oficial D.

💡 Dica: Fixe qual dos dois finalistas aparece e sua posição; preencha as outras duas posições em ordem, sem reposição.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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