Para instalar uma faixa de segurança uniforme ao redor de uma quadra de vôlei retangular de 18 m por 9 m, uma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para instalar uma faixa de segurança uniforme ao redor de uma quadra de vôlei retangular de 18 m por 9 m, uma equipe representa por x, em metros, a largura da faixa. Assim, as dimensões externas da área ocupada são 18 + 2x e 9 + 2x. Durante o planejamento, considera-se aumentar a largura da faixa em 1 m. Com base no modelo polinomial da área externa, qual expressão representa o aumento, em metros quadrados, da área ocupada quando a largura da faixa passa de x para x + 1 metros?
- A) 4x + 28 m²
- B) 8x + 62 m²
- C) 8x + 54 m²
- D) 8x + 58 m²
- E) 4x + 58 m²
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A área externa com faixa de largura x é A(x) = (18 + 2x)(9 + 2x). Desenvolvendo: 18·9 + 18·2x + 2x·9 + 2x·2x = 162 + 36x + 18x + 4x^2 = 4x^2 + 54x + 162.
- Com a largura passando de x para x + 1, a nova área é A(x + 1) = 4(x + 1)^2 + 54(x + 1) + 162 = 4(x^2 + 2x + 1) + 54x + 54 + 162 = 4x^2 + 8x + 4 + 54x + 216 = 4x^2 + 62x + 220.
- O aumento da área é A(x + 1) - A(x) = (4x^2 + 62x + 220) - (4x^2 + 54x + 162) = 8x + 58.
- Logo, a expressão do aumento é 8x + 58 m², que corresponde à alternativa D, em concordância com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A (4x + 28) tem coeficiente de x incorreto, pois o termo em x do aumento vem de 8x, não de 4x; B (8x + 62) soma erroneamente o termo independente da nova área em vez da diferença; C (8x + 54) usa o coeficiente 54 de x da área original como termo independente, esquecendo de recalcular a constante; E (4x + 58) erra o coeficiente de x, que deveria ser 8.
💡 Dica: Calcule A(x+1) e subtraia A(x) expandindo os produtos (18+2x+2)(9+2x+2) e (18+2x)(9+2x).
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente calculou apenas a parte linear do crescimento, supondo que o aumento depende de 4x (o coeficiente de x^2) em vez de 8x, e não recalculou corretamente o termo constante.
O aluno pode ter expandido corretamente o termo quadrático, mas somou a constante da nova área (220) ao invés de subtrair a constante da área original, obtendo 62 no lugar de 58.
O aluno acertou o coeficiente 8x, mas tomou como termo independente o coeficiente 54 de x da área original, confundindo o termo linear com a constante do polinômio.
Por que engana: Esquecer os termos quadráticos ao expandir o produto ou somar os termos independentes incorretamente.
A área é A(x) = (18 + 2x)(9 + 2x) = 4x^2 + 54x + 162. Portanto, A(x + 1) - A(x) = 8x + 58, que expressa o aumento da área para qualquer largura inicial x.
O aluno acertou a constante 58, mas apresentou o termo em x como 4x, esquecendo que o termo quadrático 4x^2 gera 8x ao ser comparado com a área após o aumento de x para x + 1.
Raio-X da questão
Diferença de áreas em função polinomial de 2º grau
fixacao
Produto de binômios · Função polinomial de 2º grau
Produtos notáveis e expansão de expressões polinomiais
Esquecer os termos quadráticos ao expandir o produto ou somar os termos independentes incorretamente.
cotidiano
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