Em um mercado de peixe, uma equipe testa um sistema de previsão de vendas para um novo tipo de caixa…

Questão

Em um mercado de peixe, uma equipe testa um sistema de previsão de vendas para um novo tipo de caixa refrigerada. O sistema representa o lucro diário, em centenas de reais, por P(x) = -5x² + 350x - 3000, em que x é a quantidade vendida, medida em dezenas de caixas. Para avaliar quando a operação não gera lucro nem prejuízo, é preciso determinar os pontos em que P(x) = 0. Como referência de escala, 3000 centenas de reais correspondem a 3,0 × 10^5 reais. Com base no modelo do texto, determine as quantidades vendidas em que o lucro é nulo e indique entre quais valores de x o sistema prevê lucro positivo. Apresente a resolução da equação e interprete as soluções no contexto.

1. A) Após obter x² - 70x + 600 = 0, aplicando a fórmula de resolução, encontram-se x = 20 e x = 120. Como x indica dezenas de caixas, o lucro seria nulo nas vendas de 200 e 1200 caixas. A concavidade voltada para baixo indica lucro positivo entre essas raízes, portanto para valores de x entre 20 e 120, equivalentes a vendas entre 200 e 1200 caixas, sem incluir os extremos.
2. B) Ao simplificar a equação, considera-se x² - 50x + 600 = 0, obtendo-se as raízes x = 20 e x = 30. Como x representa dezenas de caixas, os pontos de lucro nulo seriam 200 e 300 caixas. A parábola teria concavidade voltada para baixo; assim, o sistema preveria lucro positivo para valores de x entre 20 e 30, isto é, vendas entre 200 e 300 caixas, sem incluir os extremos.
3. C) Igualando o lucro a zero, obtém-se -5x² + 350x - 3000 = 0. Dividindo por -5: x² - 70x + 600 = 0, que pode ser fatorada como (x - 10)(x - 60) = 0. Assim, x = 10 ou x = 60. Como x representa dezenas de caixas, os pontos de equilíbrio correspondem à venda de 100 ou 600 caixas. A parábola tem concavidade voltada para baixo; portanto, o lucro é positivo para 10 < x < 60, isto é, para vendas entre 100 e 600 caixas, sem incluir os extremos.
4. D) Ao interpretar os coeficientes da equação, conserva-se a soma das raízes como 70, mas calcula-se incorretamente o produto como 1125. A equação considerada passa a ser x² - 70x + 1125 = 0, cujas raízes são x = 25 e x = 45. Assim, os pontos de lucro nulo seriam vendas de 250 e 450 caixas, com lucro positivo entre esses valores, sem incluir os extremos.
5. E) Na resolução, toma-se por engano a soma das raízes como 55 e mantém-se o produto igual a 600, chegando à equação x² - 55x + 600 = 0. Suas raízes são x = 15 e x = 40. Como x corresponde a dezenas de caixas, o lucro seria nulo em 150 e 400 caixas e positivo para vendas entre 150 e 400 caixas, sem incluir os extremos.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Igualar o lucro a zero: -5x² + 350x - 3000 = 0.
2. Dividir toda a equação por -5 para simplificar: x² - 70x + 600 = 0.
3. Procurar dois números cuja soma seja 70 e cujo produto seja 600. Os números 10 e 60 atendem: 10 + 60 = 70 e 10 × 60 = 600. Logo, (x - 10)(x - 60) = 0, e as raízes são x = 10 e x = 60. O mesmo resultado sai pela fórmula de Bhaskara: delta = 4900 - 2400 = 2500, raiz de delta = 50, x = (70 ± 50)/2.
4. Interpretar no contexto. Como x é medido em dezenas de caixas, x = 10 corresponde a 100 caixas e x = 60 corresponde a 600 caixas. Esses são os pontos em que o lucro é nulo.
5. Determinar o sinal do lucro. O coeficiente de x² é -5 < 0, logo a parábola tem concavidade voltada para baixo e o lucro é positivo entre as raízes: 10 < x < 60, ou seja, entre 100 e 600 caixas, sem incluir os extremos.
6. Verificação da escala. O enunciado diz que 3000 centenas de reais equivalem a 3,0 × 10^5 reais, o que confirma que os valores do modelo estão em centenas de reais e não alteram as quantidades de caixas.
7. Análise das alternativas erradas. A) usa as raízes 20 e 120 e as converte de forma errada (multiplicando por 10 duas vezes ou confundindo a escala), além de não corresponder às raízes da equação. B) simplifica incorretamente a equação para x² - 50x + 600 = 0, alterando o coeficiente central. D) calcula o produto como 1125, quando deveria ser 600. E) toma a soma das raízes como 55, quando deveria ser 70. O gabarito C está correto, pois suas raízes e a conversão para caixas são consistentes com a equação dada.

💡 Dica: Divida por -5 para obter x² - 70x + 600 = 0 e fatore em (x - 10)(x - 60).

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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