Durante o batizado de um navio de pesquisa, a equipe testa um sensor que acompanha a variação de um sinal ao…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Questão
Durante o batizado de um navio de pesquisa, a equipe testa um sensor que acompanha a variação de um sinal ao longo do tempo. No intervalo do teste, o modelo matemático do sinal é S(t) = t^2 - 9t + 20, em que t é o tempo, em segundos, após o início do teste, e S(t) é medido em unidades do sensor. Para identificar quando o sinal passa pelo nível zero, é necessário resolver S(t) = 0. Com base no modelo apresentado, em quais instantes, após o início do teste, o sinal do sensor passa pelo nível zero?
- A) Após 3 segundos e após 6 segundos
- B) Após 2 segundos e após 7 segundos
- C) Após 5 segundos e após 9 segundos
- D) Após 4 segundos e após 9 segundos
- E) Após 4 segundos e após 5 segundos
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- O enunciado pede os instantes t em que S(t) = 0, ou seja, as raízes da equação t^2 - 9t + 20 = 0.
- Resolvendo por soma e produto: procuramos dois números cuja soma é 9 e cujo produto é 20. Esses números são 4 e 5, pois 4 + 5 = 9 e 4 x 5 = 20.
- Alternativamente, pela fórmula de Bhaskara: delta = (-9)^2 - 4 x 1 x 20 = 81 - 80 = 1. Então t = (9 ± raiz de 1) / 2, o que dá t = (9 + 1)/2 = 5 e t = (9 - 1)/2 = 4.
- Verificação: S(4) = 16 - 36 + 20 = 0 e S(5) = 25 - 45 + 20 = 0. Ambos confirmam o nível zero.
- Por que as outras estão erradas: A) 3 e 6 somam 9, mas o produto é 18, não 20; B) 2 e 7 têm soma 9 mas produto 14; C) 5 e 9 somam 14, não 9, e não são raízes; D) 4 é raiz, mas 9 não é, pois S(9) = 81 - 81 + 20 = 20, diferente de zero.
- Conclusão: os instantes são 4 e 5 segundos após o início do teste, correspondendo à alternativa E, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Fatore t^2-9t+20 procurando dois números cuja soma é 9 e produto é 20.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente buscou dois números com soma 9 sem verificar o produto, escolhendo 3 e 6 apenas porque somam 9, e não checou S(3) ou S(6).
Por que engana: Somar ou multiplicar os termos do polinômio em vez de achar as raízes, ou errar o sinal ao fatorar.
O aluno considerou apenas a soma dos coeficientes ou pares de números que somam 9, sem conferir que o produto deve ser 20, o que leva a 2 e 7 (produto 14).
O aluno pode ter confundido os sinais dos coeficientes ou somado os valores de 9 e 5 na fórmula, obtendo 5 e 9, que na verdade somam 14 e não correspondem à soma 9 da equação.
O aluno acertou uma das raízes (4) mas se enganou ao calcular a segunda, possivelmente errando o sinal ou o cálculo de Bhaskara e chegando a 9, sem substituir t = 9 na equação para verificar.
Igualando o modelo a zero, obtém-se t^2 - 9t + 20 = 0, que se fatora em (t - 4)(t - 5) = 0. Assim, as soluções são t = 4 e t = 5, ambas compatíveis com o intervalo de tempo considerado.
Raio-X da questão
Resolução de equação do 2º grau por fatoração ou Bhaskara.
fixacao
Produtos notáveis e fatoração. · Relação entre soma e produto das raízes.
Raízes de funções quadráticas.
Somar ou multiplicar os termos do polinômio em vez de achar as raízes, ou errar o sinal ao fatorar.
cientifico
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