Uma artesã vai instalar um piso retangular em uma área de trabalho. O comprimento do espaço deve ser 4 metros…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma artesã vai instalar um piso retangular em uma área de trabalho. O comprimento do espaço deve ser 4 metros maior que a largura, e a área total disponível é de 96 metros quadrados. Considerando essas condições, quais devem ser as dimensões do piso para ocupar exatamente a área disponível?
- A) 7 metros de largura e 11 metros de comprimento.
- B) 8 metros de largura e 10 metros de comprimento.
- C) 9,8 metros de largura e 13,8 metros de comprimento.
- D) 6 metros de largura e 16 metros de comprimento.
- E) 8 metros de largura e 12 metros de comprimento.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Chame a largura de L metros. Como o comprimento é 4 metros maior que a largura, ele vale L + 4 metros.
- A área retangular é largura vezes comprimento, então L(L + 4) = 96, que equivale a L^2 + 4L - 96 = 0.
- Resolva a equação do segundo grau com a fórmula de Bhaskara: delta = 4^2 - 4(1)(-96) = 16 + 384 = 400, e a raiz quadrada de 400 é 20.
- As raízes são L = (-4 + 20) / 2 = 8 e L = (-4 - 20) / 2 = -12. Como a largura é uma medida física, descartamos o valor negativo e ficamos com L = 8 metros.
- O comprimento é L + 4 = 12 metros. Verificação: 8 x 12 = 96 metros quadrados, e 12 é exatamente 4 a mais que 8. Portanto a alternativa E está correta e coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: na A, 7 x 11 = 77, não 96; na B, 8 x 10 = 80 e a diferença entre as medidas é 2, não 4; na C, 9,8 x 13,8 é aproximadamente 135, muito acima de 96; na D, 6 x 16 = 96 até funciona, mas a diferença entre 16 e 6 é 10, não 4.
💡 Dica: Represente a largura por x e o comprimento por x + 4; iguale o produto a 96.
Alternativa por alternativa
O aluno pode ter respeitado a diferença de 4 metros entre comprimento e largura, mas não verificou se o produto dava 96; 7 x 11 resulta em 77 e não em 96.
O aluno provavelmente interpretou mal a condição do comprimento e tratou a diferença como 2 metros, pois 10 - 8 = 2; além disso, 8 x 10 = 80, e não 96.
O aluno manteve a diferença de 4 metros, mas errou no cálculo da área ou usou aproximações indevidas; o produto 9,8 x 13,8 é cerca de 135, muito maior que 96.
Por que engana: Escolher dimensões cuja diferença seja 4 sem verificar se o produto é 96.
O aluno acertou o produto 6 x 16 = 96, mas não conferiu a condição de que o comprimento seja 4 metros maior que a largura, já que 16 - 6 = 10.
Se a largura é x, o comprimento é x + 4. A área fornece x(x + 4) = 96, ou x² + 4x - 96 = 0. A solução positiva é x = 8, resultando em comprimento de 12 metros.
Raio-X da questão
Equação do 2º grau a partir da área de um retângulo.
fixacao
Área do retângulo. · Produto de expressões algébricas e fatoração simples.
Fatoração de trinômios quadráticos.
Escolher dimensões cuja diferença seja 4 sem verificar se o produto é 96.
cotidiano
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