Em um sistema experimental de radar, duas trajetórias retas são representadas pelas cordas AC e BD de uma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um sistema experimental de radar, duas trajetórias retas são representadas pelas cordas AC e BD de uma circunferência, que se cruzam no ponto P. No esquema, os arcos AB e CD medem, respectivamente, 48 graus e 72 graus. Uma técnica afirma que o ângulo APB mede 36 graus, pois corresponde à metade da medida do arco CD. Com base nas relações entre ângulos e arcos na circunferência, avalie a afirmação da técnica e indique a medida correta do ângulo APB.
- A) A afirmação está incorreta: o ângulo APB mede 30 graus, pois corresponde a um quarto da soma das medidas dos arcos AB e CD.
- B) A afirmação está incorreta: o ângulo APB mede 24 graus, pois corresponde à metade da medida do arco AB.
- C) A afirmação está incorreta: o ângulo APB mede 12 graus, pois corresponde à metade da diferença entre as medidas dos arcos AB e CD.
- D) A afirmação está correta: o ângulo APB mede 36 graus, pois corresponde à metade da medida do arco CD.
- E) A afirmação está incorreta: o ângulo APB mede 60 graus, pois corresponde à metade da soma das medidas dos arcos AB e CD.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Observe que o ponto P é interno à circunferência, pois é onde as cordas AC e BD se cruzam. Nesse caso, o ângulo APB não é um ângulo inscrito nem um ângulo central, e sua medida não depende de um único arco. Passo 2: Pelo teorema dos ângulos com vértice interno, a medida de um ângulo formado por duas cordas que se cruzam dentro da circunferência é igual à metade da soma das medidas dos arcos interceptados pelo ângulo e por seu oposto pelo vértice. Passo 3: O ângulo APB intercepta o arco AB, e seu ângulo oposto pelo vértice, CPD, intercepta o arco CD. Logo, APB = (AB + CD) / 2. Passo 4: Substituindo os valores: APB = (48 + 72) / 2 = 120 / 2 = 60 graus. Passo 5: Portanto, a afirmação da técnica está incorreta, pois ela usou apenas o arco CD e ignorou o arco AB. A alternativa correta é a E. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a alternativa A calcula 120 / 4 = 30, dividindo por quatro em vez de por dois. A alternativa B toma apenas o arco AB, ignorando o arco CD. A alternativa C usa a fórmula da diferença, que vale para ângulos formados por secantes ou cordas externas à circunferência, e não para ângulos internos. A alternativa D aceita a afirmação da técnica, que está errada porque considera só um dos arcos.
💡 Dica: Para cordas que se cruzam dentro da circunferência, some os arcos opostos e divida por dois.
Alternativa por alternativa
O aluno soma corretamente os arcos (120 graus), mas divide por quatro em vez de dividir por dois, achando que o ângulo interno equivale a um quarto da soma dos arcos.
O aluno considera apenas o arco AB e aplica a metade dele, ignorando que o ângulo interno depende dos dois arcos interceptados.
O aluno aplica a fórmula de ângulos formados por secantes externas, que usa a diferença entre os arcos, em um ângulo cujo vértice está dentro da circunferência.
O aluno aceita a afirmação da técnica, acreditando que um ângulo formado por cordas se cruzando é metade de apenas um dos arcos, como ocorre no ângulo inscrito.
Por que engana: Usar metade de apenas um arco, como se o ângulo fosse inscrito.
Quando duas cordas se cruzam no interior da circunferência, a medida do ângulo formado é metade da soma das medidas dos arcos interceptados por esse ângulo e pelo seu oposto pelo vértice. Assim, (48 + 72) / 2 = 60 graus. A técnica considerou apenas um dos arcos.
Raio-X da questão
Ângulo formado por cordas que se cruzam no interior da circunferência.
fixacao
Medida de arcos de uma circunferência. · Operações com medidas angulares.
Relação entre ângulos inscritos, centrais e arcos.
Usar metade de apenas um arco, como se o ângulo fosse inscrito.
cientifico
Questões parecidas com resolução
- Em um projeto de uma cobertura circular para um observatório, quatro pontos A, B, C e D estão marcados sobre a…
- Em um experimento de óptica, uma equipe marca dois pontos A e B na borda de um disco circular e mede o ângulo central…
- No círculo de centro O, as cordas AC e BD se intersectam internamente no ponto P. Os arcos menores AB, BC, CD e DA medem…
- Em um telescópio de rastreamento, um codificador circular registra a posição de quatro marcas A, B, C e D sobre uma…
- Em uma praça circular, o arco AB mede 120°. Num ponto P da circunferência, o ângulo APB é inscrito e subtende o mesmo…
- Em um sistema de rastreamento por antena, um visor circular auxilia a equipe a calibrar a direção de um sinal. No…
Todas as questões de Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog