Em um projeto de cobertura, a seção transversal triangular é retângula no vértice mais alto. No esquema, a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um projeto de cobertura, a seção transversal triangular é retângula no vértice mais alto. No esquema, a altura traçada desse vértice até a hipotenusa divide-a em dois segmentos de 7 cm e 18 cm. Uma anotação do projeto propõe que essa altura seja de 11 cm. Para conferir a proposta, considere que, em um triângulo retângulo, o quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos dois segmentos em que ela a divide. Observe o esquema descrito e avalie a anotação do projeto. Calcule a altura determinada pelas projeções indicadas e compare-a com os 11 cm propostos. Em seguida, determine a medida da hipotenusa e dos dois catetos, mostrando as relações métricas usadas e explicando se a anotação é compatível com a geometria do triângulo.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
A hipotenusa mede 25 cm, pois 7 + 18 = 25. A altura correta satisfaz h² = 7 × 18 = 126, logo h = 3raiz de 14 cm, aproximadamente 11,22 cm; portanto, a proposta de 11 cm não é exata. Para os catetos, aplicam-se a² = 25 × 7 e b² = 25 × 18, obtendo-se, respectivamente, 5raiz de 7 cm e 15raiz de 2 cm. Assim, as medidas exatas do esquema são compatíveis com as relações métricas, mas a altura anotada é apenas uma aproximação, não o valor exato.
Explicação
A hipotenusa é a soma das projeções. A altura ao quadrado corresponde ao produto delas; cada cateto ao quadrado corresponde ao produto da hipotenusa pela projeção adjacente. Como 3raiz de 14 é aproximadamente 11,22, a medida de 11 cm não é exata.
Raio-X da questão
Relações métricas no triângulo retângulo
avaliacao
Teorema de Pitágoras · Produtos e raízes quadradas
Altura relativa à hipotenusa e projeções dos catetos
Somar as projeções para calcular a altura, em vez de usar h² = 7·18.
Ciência e tecnologia
Atenção e persistência na verificação de resultados
cientifico
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