Em uma simulação digital de uma treliça triangular retângula, a barra diagonal que une as extremidades mede 50…

Questão

Em uma simulação digital de uma treliça triangular retângula, a barra diagonal que une as extremidades mede 50 cm. Uma haste perpendicular divide essa barra em dois segmentos, e as relações métricas do triângulo retângulo permitem obter a altura e os catetos a partir desses segmentos. Na configuração inicial, as projeções medem 18 cm e 32 cm. O ponto de fixação da haste é deslocado, e as projeções passam a medir 8 cm e 42 cm; o comprimento da barra diagonal permanece inalterado. Determine a altura relativa à barra diagonal e os comprimentos dos dois catetos nas configurações inicial e final. Em seguida, explique como o deslocamento do ponto de fixação afeta cada medida e verifique se a soma das projeções permanece compatível com o comprimento da barra. Apresente as relações métricas e os cálculos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Na configuração inicial, a hipotenusa mede 50 cm e suas projeções medem 18 cm e 32 cm. Pela relação h² = mn, a altura é h = raiz quadrada de (18 × 32) = 24 cm. Pela relação entre cada cateto, a hipotenusa e sua projeção, os catetos medem raiz quadrada de (50 × 18) = 30 cm e raiz quadrada de (50 × 32) = 40 cm. Na configuração final, as projeções medem 8 cm e 42 cm, cuja soma continua sendo 50 cm. A altura passa a ser raiz quadrada de (8 × 42) = raiz quadrada de 336 = 4 raiz quadrada de 21 cm, aproximadamente 18,33 cm. Os catetos passam a medir raiz quadrada de (50 × 8) = 20 cm e raiz quadrada de (50 × 42) = 10 raiz quadrada de 21 cm, aproximadamente 45,83 cm. Assim, a altura diminui 24 - 4 raiz quadrada de 21 cm, aproximadamente 5,67 cm; o cateto associado à projeção que caiu de 18 para 8 cm diminui de 30 para 20 cm, enquanto o associado à projeção que subiu de 32 para 42 cm aumenta de 40 para 10 raiz quadrada de 21 cm. A soma das projeções se mantém igual à hipotenusa nas duas configurações.

Explicação

Usam-se h² = mn e a² = cm, em que c é a hipotenusa e m e n são as projeções correspondentes aos catetos. A soma 8 + 42 = 50 confirma que o comprimento da hipotenusa não mudou. O produto das projeções diminui de 576 para 336, portanto a altura diminui; cada cateto varia conforme sua própria projeção.

Raio-X da questão

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