MatemáticaFUVESTBNCC EM13MAT308Difícil⏱ 3 a 5 minu

Em um levantamento para delimitar um terreno triangular, foram medidas as três distâncias entre os marcos: 13…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT308

Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Em um levantamento para delimitar um terreno triangular, foram medidas as três distâncias entre os marcos: 13 m, 14 m e 15 m. Um técnico afirmou que o raio da circunferência que passa pelos três marcos é 65/8 m. Para justificar, usou a fórmula R = abc/(4A), em que a, b e c são os lados e A é a área do triângulo. A afirmação do técnico está correta? Analise a resolução e determine o raio da circunferência circunscrita ao terreno, justificando sua conclusão.

A) Sim. A área é aproximadamente 89,10 m²; assim, o raio da circunferência circunscrita é aproximadamente 7,66 m.
B) Não. Usando altura de 13 m relativa ao lado de 14 m, a área é 91 m²; assim, o raio circunscrito é 7,50 m.
C) Não. A área é aproximadamente 64,81 m²; portanto, o raio da circunferência circunscrita é aproximadamente 10,53 m.
D) Sim. Pelo semiperímetro 21 m, a fórmula de Heron dá área de 84 m²; portanto, R = (13 × 14 × 15)/(4 × 84) = 65/8 m.
E) Não. A área é aproximadamente 76,68 m²; portanto, o raio da circunferência circunscrita é aproximadamente 8,90 m.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

Resolvi a questão sem usar o gabarito. Os lados são a = 13 m, b = 14 m e c = 15 m. O semiperímetro é p = (13 + 14 + 15)/2 = 21 m. Passo 2: Pela fórmula de Heron, A = raiz de p(p - a)(p - b)(p - c) = raiz de 21 × 8 × 7 × 6 = raiz de 7056 = 84 m². Passo 3: Aplicando R = abc/(4A) = (13 × 14 × 15)/(4 × 84) = 2730/336 = 65/8 = 8,125 m. Passo 4: Logo, a afirmação do técnico está correta, e a alternativa correta é a D, que coincide com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: na A, a área de 89,10 m² não corresponde ao triângulo de lados 13, 14 e 15, cuja área exata é 84 m², e o raio aproximado de 7,66 m também está errado. Na B, 13 m é um lado do triângulo, não a altura relativa ao lado de 14 m; essa altura é 2 × 84/14 = 12 m, e a área correta é 84 m², não 91 m². Na C, a área de 64,81 m² está errada, pois o valor exato é 84 m². Na E, a área de 76,68 m² também está errada, e o raio correto é 65/8 m, não 8,90 m.

💡 Dica: Calcule o semiperímetro e aplique Heron antes de substituir na fórmula do raio.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimentala que mais engana

Calculou a área de forma incorreta, obtendo 89,10 m² em vez de 84 m², e por isso concluiu que o raio é 7,66 m. Mesmo assim, aceitou a afirmação do técnico, sem verificar o resultado.

Por que engana: Usar uma altura ou área incorreta e, em seguida, aceitar um raio incompatível com essa área.

B Erradaerro: Conceitual

Tomou o lado de 13 m como altura relativa ao lado de 14 m, o que não é verdade neste triângulo, pois a altura correspondente é 12 m. Com isso, obteve área de 91 m² e um raio de 7,50 m.

C Erradaerro: Procedimental

Errou o cálculo da área pela fórmula de Heron, obtendo 64,81 m² em vez de 84 m², e daí tirou um raio de 10,53 m, concluindo erroneamente que o técnico estava errado.

D Correta

A área obtida pela fórmula de Heron é raiz de (21 × 8 × 7 × 6) = 84 m². Substituindo os lados e essa área na fórmula do raio circunscrito, resulta R = 65/8 m, confirmando a afirmação.

E Erradaerro: Procedimental

Calculou a área de forma incorreta, chegando a 76,68 m², e por isso encontrou um raio de 8,90 m. Com esse valor, rejeitou a afirmação do técnico.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom analisar

Leitura Baixo

Discriminação Medio

Peso pedagógico Moderado;

Autonomia do enunciado Autônomo; informa la

Cobertura da habilidade Mobiliza á

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ Problema contextuali🧩 Item de aplicação de

🎯 Conceito central

Raio da circunferência circunscrita em função dos lados e da área.

📌 Objetivo

Calcular a área por

🧱 Pré-requisitos

Cálculo do semiperímetro de um triângulo. · Substituição e operações com raízes e frações.

📚 Reveja

Fórmula de Heron e fórmula R = abc/(4A).

⚠️ Erro mais comum

Usar uma altura ou área incorreta e, em seguida, aceitar um raio incompatível com essa área.

🏫 Contexto

Delimitação de terre

Questões parecidas com resolução

🔎 Procurar outra questão

Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.

Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog