Uma equipe de vela está redesenhando uma vela triangular cujos lados adjacentes de comprimentos 5 m e 8 m…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma equipe de vela está redesenhando uma vela triangular cujos lados adjacentes de comprimentos 5 m e 8 m permanecem fixos. No projeto atual, o ângulo entre esses lados mede 90 graus; no novo projeto, esse ângulo será reduzido para 60 graus. Prevendo os efeitos dessa mudança, determine o comprimento do terceiro lado e a área da vela no novo projeto, e indique se cada medida aumenta ou diminui em relação ao projeto atual.
- A) No novo projeto, o terceiro lado mede raiz quadrada de 69 m e a área mede 10 m²; ambas as medidas diminuem em relação ao projeto atual.
- B) No novo projeto, o terceiro lado mede raiz quadrada de 89 m e a área mede 20 m²; ambas as medidas permanecem iguais às do projeto atual.
- C) No novo projeto, o terceiro lado mede raiz quadrada de 129 m e a área mede 20 raiz quadrada de 3 m²; ambas as medidas aumentam em relação ao projeto atual.
- D) No novo projeto, o terceiro lado mede 7 m e a área mede 10 raiz quadrada de 3 m²; em relação ao projeto atual, o terceiro lado diminui de raiz quadrada de 89 m para 7 m, e a área diminui de 20 m² para 10 raiz quadrada de 3 m².
- E) No novo projeto, o terceiro lado mede raiz quadrada de 89 menos 40 raiz de 2 m e a área mede 10 raiz de 2 m²; ambas as medidas diminuem em relação ao projeto atual.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. Os lados fixos medem 5 m e 8 m e o ângulo entre eles, no novo projeto, é 60 graus. O terceiro lado (c) é o lado oposto a esse ângulo. Passo 2: Calcule o terceiro lado pela lei dos cossenos: c^2 = 5^2 + 8^2 - 2·5·8·cos(60°) = 25 + 64 - 80·(1/2) = 89 - 40 = 49. Logo c = 7 m. Passo 3: Calcule a área pela fórmula área = (1/2)·a·b·sen(θ): área = (1/2)·5·8·sen(60°) = 20·(raiz de 3 / 2) = 10 raiz de 3 m². Passo 4: Compare com o projeto atual (ângulo de 90 graus). No projeto atual, o terceiro lado é raiz de (25 + 64) = raiz de 89 m, aproximadamente 9,43 m, e a área é (1/2)·5·8 = 20 m². Como 7 m < raiz de 89 m e 10 raiz de 3 m (aproximadamente 17,3 m²) < 20 m², as duas medidas diminuem. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A: o terceiro lado de raiz de 69 m resulta de um erro no termo do cosseno, e a área de 10 m² vem de um erro no seno. B: manter as medidas do ângulo de 90 graus ignora que a mudança de ângulo altera o terceiro lado e a área. C: o valor raiz de 129 m vem de usar cosseno negativo, como se o ângulo fosse obtuso, e a área de 20 raiz de 3 m² usa sen(60°) como raiz de 3 em vez de raiz de 3 sobre 2; além disso, a conclusão de aumento está errada. E: usar cos(45°) e sen(45°) no lugar de cos(60°) e sen(60°) leva ao terceiro lado raiz de (89 - 40 raiz de 2) m e à área de 10 raiz de 2 m².
💡 Dica: Calcule o terceiro lado com a lei dos cossenos e a área com dois lados e o seno do ângulo.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula o terceiro lado como raiz de (89 - 20), esquecendo o fator 2 do termo 2·5·8·cos(60°), e na área usa um valor de seno errado, obtendo 10 m².
O aluno acredita que, como os lados fixos não mudam, o terceiro lado e a área também não mudam, sem perceber que o ângulo entre os lados determina essas medidas.
Por que engana: Aplicar Pitágoras ao novo triângulo ou confundir a variação da área com a do terceiro lado.
O aluno usa cos(120°) = -1/2 no lugar de cos(60°), o que dá 89 + 40 = 129, e calcula a área como 1/2·5·8·raiz de 3 = 20 raiz de 3; além disso, acredita que fechar o ângulo aumenta as medidas.
Pela lei dos cossenos, o terceiro lado ao quadrado é 5² + 8² - 2·5·8·cos(60 graus) = 49, logo ele mede 7 m. A área nova é (5·8·sen(60 graus))/2 = 10 raiz quadrada de 3 m². Com o ângulo de 90 graus, o terceiro lado mede raiz quadrada de 89 m e a área é 20 m²; portanto, ambas as medidas diminuem.
O aluno confunde os valores trigonométricos dos ângulos notáveis e usa cos(45°) e sen(45°) em vez de cos(60°) e sen(60°), o que produz raiz de (89 - 40 raiz de 2) m e 10 raiz de 2 m².
Raio-X da questão
Lei dos cossenos e área de triângulo por dois lados e ângulo compreendido.
Aplicar lei dos coss
Lei dos cossenos. · Área de triângulo usando dois lados e o seno do ângulo entre eles.
Comparação de comprimentos e áreas quando varia o ângulo entre lados fixos.
Aplicar Pitágoras ao novo triângulo ou confundir a variação da área com a do terceiro lado.
Projeto de vela tria
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