Em um centro de distribuição, dois sistemas registram a posição n de uma caixa em uma sequência de etiquetas…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e associar progressões aritméticas (PA) a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um centro de distribuição, dois sistemas registram a posição n de uma caixa em uma sequência de etiquetas. O sistema A usa a regra A_n = 5n + 8, e o sistema B usa a regra B_n = 2(n + 4) + 3n. Considerando n um número inteiro positivo, qual conclusão é válida ao comparar as regras dos dois sistemas?
- A) As duas regras não podem ser comparadas porque estão escritas de formas diferentes.
- B) As duas regras geram os mesmos termos nos três primeiros valores de n.
- C) As duas regras geram os mesmos termos para todo n positivo.
- D) As duas regras geram termos que diferem sempre por 8.
- E) As duas regras geram o mesmo termo apenas para n = 1.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Resolvo sem olhar o gabarito. A regra do sistema A é A_n = 5n + 8.
- Desenvolvo a regra do sistema B. Aplicando a propriedade distributiva, 2(n + 4) = 2n + 8. Então B_n = 2n + 8 + 3n.
- Somo os termos semelhantes em B_n: 2n + 3n = 5n, logo B_n = 5n + 8.
- Comparo as duas expressões. A_n = 5n + 8 e B_n = 5n + 8 são idênticas, ou seja, para qualquer n inteiro positivo os dois sistemas produzem exatamente o mesmo termo. Isso torna a alternativa C verdadeira.
- Verifico as demais alternativas. A está errada porque as regras, embora escritas de formas diferentes, podem ser comparadas após simplificação algébrica. B está errada porque a coincidência vale para todo n, não apenas para os três primeiros valores, e a afirmação restrita não é a conclusão válida mais completa. D está errada porque a diferença entre os termos é sempre zero, não 8. E está errada porque a igualdade não se restringe a n = 1; ela vale para todo n.
- Conclusão: o gabarito oficial C está correto. As duas regras são equivalentes e geram a mesma sequência de etiquetas para todo n positivo.
💡 Dica: Desenvolva B_n e compare o resultado com A_n.
Alternativa por alternativa
Acredita que expressões escritas de forma diferente não podem ser comparadas. Não percebe que a simplificação algébrica pode revelar que as duas expressões são idênticas.
Testa apenas alguns valores de n e conclui que a igualdade vale somente nesses casos, sem perceber que, ao simplificar, a igualdade é uma identidade válida para todo n. Confunde verificar casos particulares com demonstrar uma propriedade geral.
Ao desenvolver B_n, obtém-se 2n + 8 + 3n = 5n + 8, que é a mesma expressão de A_n. Portanto, as regras são iguais para qualquer n positivo.
Provavelmente ignora o fator 2 ao distribuir em 2(n + 4), ou perde a parcela 2·4 = 8 de B_n, obtendo B_n = 5n. Assim, A_n − B_n = 8, quando na verdade a diferença é zero.
Trata a igualdade entre as expressões como se fosse uma equação com solução única, confundindo identidade (válida para todo n) com equação (válida apenas para alguns valores). Esse equívoco leva a achar que só n = 1 satisfaz a igualdade.
Por que engana: Não distribuir o 2 em n + 4 ou concluir que formas diferentes produzem resultados diferentes.
Raio-X da questão
Expressões algébricas equivalentes.
Verificar a equivalê
Operações com números inteiros. · Uso de variável e simplificação algébrica.
Propriedade distributiva e redução de termos semelhantes.
Não distribuir o 2 em n + 4 ou concluir que formas diferentes produzem resultados diferentes.
Suposta comparação d
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