Pesquisadores acompanham a manobra de um satélite brasileiro destinada a diminuir o risco de colisões com…

Questão

Pesquisadores acompanham a manobra de um satélite brasileiro destinada a diminuir o risco de colisões com detritos espaciais. Inicialmente, o satélite descreve uma órbita circular de raio 7,0 x 10^6 m em torno da Terra. O plano prevê elevá-lo para outra órbita circular, de raio 1,4 x 10^7 m. Em uma reunião pública, uma pessoa afirmou que, por o satélite ficar mais distante da Terra, sua velocidade orbital deverá aumentar. Para avaliar essa afirmação, a equipe divulgou a expressão v = raiz quadrada de (GM/r), válida para órbitas circulares, e adotou GM = 4,0 x 10^14 m^3/s^2 para a Terra. As velocidades devem ser expressas em m/s. Avalie, com base nos dados do texto, a conclusão que deve orientar a comunicação da equipe sobre a velocidade do satélite após a manobra.

1. A) A velocidade orbital deve aumentar para cerca de 1,5 x 10^4 m/s, pois a gravidade atua durante toda a órbita.
2. B) A velocidade orbital deve ser reduzida para cerca de 3,8 x 10^3 m/s, pois o raio orbital dobrou.
3. C) A velocidade orbital deve permanecer em cerca de 7,6 x 10^3 m/s, pois a massa da Terra não mudou.
4. D) A velocidade orbital deve aumentar para cerca de 1,1 x 10^4 m/s, pois o raio orbital dobrou.
5. E) A velocidade orbital deve ser reduzida para cerca de 5,3 x 10^3 m/s, pois o raio orbital dobrou.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Calcular a velocidade na órbita inicial, com r1 = 7,0 x 10^6 m e GM = 4,0 x 10^14 m^3/s^2. Temos v1 = raiz quadrada de (4,0 x 10^14 / 7,0 x 10^6) = raiz quadrada de 5,7 x 10^7, o que dá cerca de 7,6 x 10^3 m/s.
2. Calcular a velocidade na órbita final, com r2 = 1,4 x 10^7 m. Temos v2 = raiz quadrada de (4,0 x 10^14 / 1,4 x 10^7) = raiz quadrada de 2,9 x 10^7, o que dá cerca de 5,3 x 10^3 m/s.
3. Comparar os resultados. Como o raio dobrou, a velocidade orbital diminui, pois v é inversamente proporcional à raiz quadrada de r. A razão entre as velocidades é v2/v1 = raiz quadrada de (r1/r2) = raiz quadrada de 1/2, cerca de 0,71. Portanto a velocidade cai de 7,6 x 10^3 para 5,3 x 10^3 m/s.
4. Conclusão. A afirmação da pessoa na reunião está errada: em órbitas circulares, quanto maior o raio, menor a velocidade orbital. A alternativa E é a única que traz a direção correta (redução) e o valor correto (cerca de 5,3 x 10^3 m/s).
5. Por que as outras estão erradas. A afirma aumento de velocidade, o que contraria a expressão v = raiz quadrada de (GM/r). B acerta a direção, mas o valor 3,8 x 10^3 m/s corresponde a dividir v1 por 2 em vez de extrair a raiz quadrada. C afirma que a velocidade não muda, mas ela depende de r, não só de GM. D afirma aumento para 1,1 x 10^4 m/s, o que está errado em direção e em valor.

💡 Dica: Calcule as velocidades nas duas órbitas usando a fórmula dada e compare.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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