Note: log_(1/2)(X) = logaritmo de X na base 1/2. Se a, b e c são as raízes da equação x³ – 3x² + 4x – 2 = 0…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Note: log_(1/2)(X) = logaritmo de X na base 1/2. Se a, b e c são as raízes da equação x³ – 3x² + 4x – 2 = 0, então o valor de log_(1/2) (2/a + 2/b + 2/c) é igual a (UECE 2026)
- A) –2.
- B) –1.
- C) 0.
- D) 1.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Pelas Relações de Girard para a equação x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0, com raízes a, b e c, temos: a + b + c = 3, ab + bc + ca = 4 e abc = 2. Passo 2: Some as frações 2/a + 2/b + 2/c, colocando tudo sobre o denominador comum abc: (2bc + 2ac + 2ab)/abc = 2(ab + bc + ca)/abc. Passo 3: Substitua os valores: 2(4)/2 = 4. Logo, 2/a + 2/b + 2/c = 4. Passo 4: Calcule o logaritmo log_(1/2)(4). Como (1/2)^(-2) = 4, temos log_(1/2)(4) = -2. Passo 5: Conclusão: a alternativa correta é A (-2), que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B (-1) corresponderia a um valor da soma igual a 2, que não é o caso; C (0) exigiria que a soma fosse igual a 1, o que também não ocorre; D (1) exigiria que o argumento do logaritmo fosse 1/2, e não 4.
💡 Dica: Use propriedades de raízes e logaritmos para simplificar a expressão.
Alternativa por alternativa
CORRETA. A soma dos inversos das raízes é calculada usando Viète, resultando em 2, e o logaritmo na base 1/2 de 2/a + 2/b + 2/c é –2 devido à inversão do sinal pelo logaritmo com base menor que 1.
O aluno calcula corretamente a estrutura da soma, mas obtém 2 em vez de 4, provavelmente por esquecer o fator 2 do numerador ou por dividir incorretamente por abc. Assim, chega a log_(1/2)(2) = -1.
O aluno provavelmente não aplica corretamente as Relações de Girard à soma dos inversos e chega a um valor igual a 1 para a expressão. Como log_(1/2)(1) = 0, ele marca C.
O aluno inverte a razão de Girard, obtendo 2/4 = 1/2 em vez de 4, e depois calcula log_(1/2)(1/2) = 1. Pode também ignorar que a base 1/2 inverte o sinal do logaritmo.
Raio-X da questão
raízes de equação e logaritmos
diagnostico
raízes de polinômios · propriedades de logaritmos
estude propriedades de raízes de polinômios e logaritmos
Confundir a soma dos inversos das raízes com a soma das raízes ou esquecer a base do logaritmo.
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abstrato
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