MatemáticaUECEBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Um triângulo retângulo, ao girar em torno de um dos catetos, gera um cone. Ao girar em torno da hipotenusa…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Um triângulo retângulo, ao girar em torno de um dos catetos, gera um cone. Ao girar em torno da hipotenusa, gera dois cones ligados pela base, que é a mesma para ambos os cones. Se a medida da hipotenusa do triângulo é 5 cm e a medida de um dos catetos é 3 cm, esse triângulo, ao girar em torno da hipotenusa, gera um sólido (união de dois cones) cuja medida do volume, em cm³, é (UECE 2022)

A) 14π/3.
B) 24π/5.
C) 48π/3.
D) 48π/5.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

Encontre o terceiro lado do triângulo. Pelo teorema de Pitágoras, 5^2 = 3^2 + c^2, logo c^2 = 16 e c = 4 cm. Passo 2: Calcule a altura relativa à hipotenusa: h = (3 x 4)/5 = 12/5 cm. Essa altura é o raio R da base circular comum aos dois cones. Passo 3: Calcule as projeções dos catetos sobre a hipotenusa, que são as alturas dos dois cones. Para o cateto 3: m = 3^2/5 = 9/5 cm. Para o cateto 4: n = 4^2/5 = 16/5 cm. Confira: m + n = 5 cm, que é a hipotenusa. Passo 4: Calcule o volume de cada cone, V = (1/3) pi R^2 altura, com R^2 = 144/25. Cone 1: V1 = (1/3) pi (144/25)(9/5) = 432 pi/125 cm^3. Cone 2: V2 = (1/3) pi (144/25)(16/5) = 768 pi/125 cm^3. Passo 5: Some os volumes: V = (432 + 768) pi/125 = 1200 pi/125 = 48 pi/5 cm^3. Passo 6: Conclusão: a alternativa correta é a D, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque 14 pi/3 não corresponde a nenhuma combinação correta de raio e alturas. A alternativa B está errada porque 24 pi/5 é menor que o volume correto e não resulta da soma dos dois cones. A alternativa C está errada porque 48 pi/3 equivale a 16 pi, que não é o valor correto do volume.

💡 Dica: Calcule os volumes dos dois cones formados e some-os para obter o volume total.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Conceitual

O aluno provavelmente tomou um dos catetos (3 cm) como raio da base, em vez da altura relativa à hipotenusa, e calculou as alturas dos cones de forma incorreta.

B Erradaerro: Procedimental

O aluno provavelmente calculou apenas parte do sólido, como se fosse um único cone, ou errou a altura dos cones ao usar valores que não correspondem às projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

C Erradaerro: Atenção

O aluno provavelmente chegou ao numerador 48 pi corretamente, mas dividiu por 3 em vez de 5 (confundindo o denominador com o fator 1/3 do volume do cone), obtendo 16 pi.

D Correta

CORRETA. O volume total é a soma dos volumes dos dois cones formados ao girar o triângulo em torno da hipotenusa, calculados corretamente com as medidas dadas.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

volume de sólidos de revolução

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

teorema de Pitágoras · volume de cone

📚 Reveja

estude cálculo de volume de cones e sólidos gerados por rotação

⚠️ Erro mais comum

Confundir as dimensões dos cones ou esquecer de somar os volumes dos dois cones gerados pela rotação.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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