MatemáticaUECEBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, os gráficos das retas cujas equações são y = x e y =…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, os gráficos das retas cujas equações são y = x e y = mx - 4, onde m é um número inteiro maior do que um, se cortam em um ponto P. A soma dos possíveis valores de m para os quais as coordenadas de P são números inteiros positivos é (UECE 2020)

A) 11.
B) 9.
C) 10.
D) 8.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

Igualando as equações y = x e y = mx - 4, temos x = mx - 4, logo x(m - 1) = 4 e x = 4/(m - 1). Como y = x, o ponto P é (4/(m - 1), 4/(m - 1)). Passo 2: Para que as coordenadas sejam inteiros positivos, 4/(m - 1) precisa ser um inteiro positivo. Como m é inteiro maior que 1, m - 1 é inteiro positivo, então m - 1 deve ser um divisor positivo de 4, ou seja, m - 1 pode ser 1, 2 ou 4. Passo 3: Os valores correspondentes de m são 2, 3 e 5. Verificação: para m = 2, P = (4, 4); para m = 3, P = (2, 2); para m = 5, P = (1, 1). Passo 4: A soma dos possíveis valores é 2 + 3 + 5 = 10, que corresponde à alternativa C, igual ao gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a alternativa A inclui m = 1, que é excluído pela condição de m ser maior que um; a alternativa B considera um valor de m que não torna 4/(m - 1) inteiro; a alternativa D deixa de considerar m = 2, que é válido porque gera P = (4, 4).

💡 Dica: Iguale as equações para encontrar o ponto de interseção e verifique as condições para as coordenadas.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Interpretação

O aluno soma 1 + 2 + 3 + 5 = 11, incluindo m = 1, pois encontra o divisor 1 de 4 e não percebe que a condição m > 1 exclui esse valor.

B Erradaerro: Procedimental

O aluno trata 3 como divisor de 4 e obtém m = 4 (2 + 3 + 4 = 9), ou seja, comete erro na listagem dos divisores positivos de 4 e não verifica se 4/(m - 1) é inteiro.

C Correta

CORRETA. A soma 10 corresponde exatamente à soma dos valores inteiros de m > 1 para os quais o ponto de interseção tem coordenadas inteiras positivas, conforme a análise algébrica da equação.

D Erradaerro: Conceitual

O aluno exclui m = 2 por acreditar que as retas não se cortam em um ponto válido ou que o valor não é admissível, obtendo 3 + 5 = 8; na verdade, m = 2 gera P = (4, 4), com coordenadas inteiras positivas.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

interseção de retas, coordenadas inteiras

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

equações de retas no plano · sistema de coordenadas cartesianas

📚 Reveja

sistema de coordenadas cartesianas e resolução de equações lineares

⚠️ Erro mais comum

Confundir o valor de m ou não verificar corretamente as condições para as coordenadas serem inteiras positivas.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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