No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com A = (8, 6), B = (3, -4) e C = (-1, 2). Seja D o ponto de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com A = (8, 6), B = (3, -4) e C = (-1, 2). Seja D o ponto de interseção do segmento AB com o eixo x. Se r é a reta que passa por D, sendo essa reta paralela à reta que passa por B e C, assinale a alternativa que corresponde à equação de r. (UFPR 2022)
- A) 3x + 2y = 15.
- B) 2x + 3y = 10.
- C) 3x + 2y = 8.
- D) 3x + 2y = 3.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Encontre a equação da reta AB, com A = (8, 6) e B = (3, -4). O coeficiente angular é (6 - (-4))/(8 - 3) = 10/5 = 2. Usando o ponto B: y + 4 = 2(x - 3), logo y = 2x - 10. Passo 2: Encontre D, interseção de AB com o eixo x (y = 0). Então 0 = 2x - 10, logo x = 5 e D = (5, 0). Passo 3: Encontre o coeficiente angular da reta BC, com B = (3, -4) e C = (-1, 2): (2 - (-4))/(-1 - 3) = 6/(-4) = -3/2. Como r é paralela a BC, ela tem o mesmo coeficiente angular, -3/2. Passo 4: Escreva a equação de r passando por D = (5, 0): y - 0 = -3/2 (x - 5), ou seja, 2y = -3x + 15, que resulta em 3x + 2y = 15. Passo 5: Conclusão. A alternativa correta é a A, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: na B, a reta 2x + 3y = 10 passa por D, mas tem coeficiente angular -2/3, que não corresponde ao de BC. Na C, a reta 3x + 2y = 8 tem o coeficiente angular certo, mas não passa por D, pois 3 · 5 + 2 · 0 = 15 e não 8. Na D, a reta 3x + 2y = 3 também tem o coeficiente angular certo, mas não passa por D, pois 3 · 5 + 0 = 15 e não 3.
💡 Dica: Calcule o ponto D e a inclinação da reta BC para encontrar a equação da reta r.
Alternativa por alternativa
CORRETA. A equação 3x + 2y = 15 corresponde à reta que passa por D e é paralela à reta BC, considerando o coeficiente angular correto e o ponto de interseção com o eixo x.
O aluno provavelmente calculou o coeficiente angular de BC como -2/3, invertendo a razão entre as variações. Assim, a reta obtida passa por D, mas tem inclinação errada.
O aluno acertou a inclinação de r (-3/2), mas errou o termo independente ao substituir o ponto D, obtendo 8 em vez de 15. Isso indica que a reta não passa por D.
O aluno acertou a inclinação de r, mas calculou mal a constante ao usar D = (5, 0), chegando a 3 em vez de 15. Possivelmente trocou a coordenada x de D ou fez a multiplicação de forma incorreta.
Raio-X da questão
equacao reta, ponto, paralelismo
avaliacao
ponto no plano cartesiano · equacao da reta
estude equacoes de retas e paralelismo no plano cartesiano
Confundir o ponto de interseção com o eixo x ou calcular incorretamente a inclinação da reta paralela.
pensamento_critico
abstrato
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