MatemáticaUFPRBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Na figura ao lado, considere os segmentos de reta AE e CD, e os triângulos retângulos ABC e BDE. Suponha que o…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Na figura ao lado, considere os segmentos de reta AE e CD, e os triângulos retângulos ABC e BDE. Suponha que o comprimento de AB é igual a x, e que o comprimento de AC é igual a y. Considerando que os segmentos AC e BD têm o mesmo comprimento, qual das alternativas abaixo corresponde ao valor do comprimento do segmento DE? (UFPR 2022)

A) y / sqrt(x² - y²)
B) sqrt(x² - y²) / y
C) y * sqrt(x² - y²)
D) y² / sqrt(x² - y²)

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

Identifique o triângulo ABC. AB = x é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto em C) e AC = y é um cateto. Pelo teorema de Pitágoras, BC^2 = x^2 - y^2, logo BC = raiz de (x^2 - y^2). Passo 2: Observe que os triângulos ABC e BDE são semelhantes, com ângulos correspondentes iguais, como indicado na figura. Assim, o cateto DE de BDE corresponde ao cateto AC de ABC, e o cateto BD corresponde ao cateto BC. Passo 3: Escreva a proporção entre os lados correspondentes: DE/AC = BD/BC. Passo 4: Substitua os valores: DE/y = y/raiz de (x^2 - y^2). Passo 5: Isole DE, multiplicando ambos os lados por y: DE = y^2/raiz de (x^2 - y^2). Esse é o valor da alternativa D, que é o gabarito. Passo 6: Por que as outras estão erradas. A: usa a razão AC/BC sem multiplicar pelo comprimento BD = y, esquecendo o fator de escala. B: inverte a razão entre os catetos, resultando em BC/AC. C: multiplica em vez de dividir, obtendo y vezes BC, o que não respeita a proporção.

💡 Dica: Use propriedades dos triângulos retângulos e igualdade de segmentos para encontrar DE.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

O aluno monta a proporção corretamente como razão entre os catetos, mas esquece de multiplicar pelo comprimento BD = y, tratando a razão AC/BC como se fosse o próprio DE.

B Erradaerro: Procedimental

O aluno inverte a correspondência entre os lados semelhantes, usando BC/AC em vez de AC/BC, o que resulta em raiz de (x^2 - y^2) dividido por y.

C Erradaerro: Procedimental

O aluno aplica a proporção de semelhança, mas multiplica os lados em vez de dividir, obtendo y vezes raiz de (x^2 - y^2), sem perceber que a razão de semelhança deve ser preservada.

D Correta

CORRETA. A alternativa expressa corretamente o comprimento do segmento DE usando a relação entre os catetos e a hipotenusa dos triângulos retângulos, aplicando o teorema de Pitágoras e a semelhança dos triângulos.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

triângulos retângulos, segmentos, comprimento

📌 Objetivo

diagnostico

🧱 Pré-requisitos

propriedades triângulos retângulos · relações entre segmentos

📚 Reveja

Estude propriedades de triângulos retângulos e relações entre segmentos.

⚠️ Erro mais comum

Confundir segmentos iguais e aplicar incorretamente propriedades dos triângulos retângulos.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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🔎 Resolver outra questão

Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.

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