Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45º em…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45º em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105º em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto? (UFPR 2014)
- A) 10 km.
- B) 14 km.
- C) 15 km.
- D) 17 km.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Resolvi a questão sem usar o gabarito. Os navios partem do mesmo porto, então formam um triângulo com vértice no porto. Após 1 hora, o primeiro percorreu 16 km e o segundo percorreu 6 km, pois distância é velocidade vezes tempo.
- Determinei o ângulo entre as duas trajetórias. Medidos a partir do norte no sentido horário, os rumos são 45º e 105º. O ângulo entre eles é 105 - 45 = 60º.
- Como temos dois lados e o ângulo entre eles, usamos a lei dos cossenos: d^2 = 16^2 + 6^2 - 2 x 16 x 6 x cos(60º). Com cos(60º) = 1/2, temos d^2 = 256 + 36 - 96 = 196.
- Extraímos a raiz: d = raiz de 196 = 14 km. Portanto, a alternativa correta é a B, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 10 km resulta de subtrair as distâncias, o que só vale se as trajetórias fossem na mesma direção. C) 15 km não corresponde a nenhum cálculo correto com esses dados. D) 17 km aparece se o ângulo entre as trajetórias for tratado como reto, o que não é o caso aqui.
💡 Dica: Use trigonometria para calcular a distância entre os pontos após 1 hora.
Alternativa por alternativa
O aluno subtrai as distâncias (16 - 6 = 10), como se os navios andassem na mesma direção, ignorando que os rumos formam um ângulo de 60º.
CORRETA. A distância de 14 km resulta da soma vetorial correta das posições dos navios após 1 hora, considerando as direções e velocidades dadas.
O aluno chega a 15 km por erro na aplicação da lei dos cossenos, provavelmente trocando o sinal do termo do produto ou usando um cosseno incorreto para o ângulo de 60º.
O aluno supõe que as trajetórias são perpendiculares e aplica Pitágoras (16^2 + 6^2 = 292, raiz de 292 ≈ 17). Ele não percebe que o ângulo entre os rumos é 60º e não 90º.
Raio-X da questão
movimento vetorial e distância
avaliacao
trigonometria básica · vetores no plano
Estude cálculo de distância entre pontos usando vetores e trigonometria.
Confundir ângulos ou aplicar fórmula de distância incorretamente, ignorando a direção dos vetores.
pensamento_critico
cotidiano
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