MatemáticaUFPRBNCC EM13MAT301Difícil⏱ longo

Um recipiente, no formato de hemisfério, contém um líquido que tem profundidade máxima de 5 cm. Sabendo que a…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Um recipiente, no formato de hemisfério, contém um líquido que tem profundidade máxima de 5 cm. Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é de 20 cm, qual o maior ângulo, em relação à horizontal, em que ele pode ser inclinado até que o líquido alcance a borda, antes de começar a derramar? (UFPR 2013)

A) 75°.
B) 60°.
C) 45°.
D) 30°.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

Na posição normal, o líquido forma uma calota esférica de altura 5 cm dentro do hemisfério de raio 10 cm (diâmetro 20 cm). O volume dessa calota é V = pi*h^2*(3R - h)/3 = pi*5^2*(30 - 5)/3 = 625pi/3 cm^3.
Ao inclinar o recipiente, o volume de líquido não muda. O líquido só alcança a borda quando a superfície livre (sempre horizontal) passa pelo ponto mais baixo da borda circular. Se a borda (um círculo de raio 10 cm) está inclinada de um ângulo theta em relação à horizontal, esse ponto mais baixo fica a 10*sen(theta) cm abaixo do centro da boca do hemisfério.
Para que a superfície esteja no nível da borda mais baixa, a superfície deve estar a 5 cm abaixo do centro da boca, ou seja, 10*sen(theta) = 5, logo sen(theta) = 1/2 e theta = 30°.
Conferindo, para theta = 30° o plano da borda toca exatamente a circunferência de altura 5 cm que limita a calota do líquido, de modo que todo o líquido fica dentro do recipiente e nenhum transborda antes. Assim, 30° é o maior ângulo possível.
A alternativa A (75°) está errada porque, com sen(75°) próximo de 0,97, o líquido estaria muito acima da borda, o que não é possível. A alternativa B (60°) está errada porque sen(60°) = raiz de 3/2 não corresponde à condição de altura 5 cm. A alternativa C (45°) está errada porque sen(45°) = raiz de 2/2 levaria a uma altura de cerca de 7 cm, incompatível com o volume original.

💡 Dica: Use propriedades geométricas do hemisfério e trigonometria para calcular o ângulo de inclinação.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

Usa o ângulo como se a altura da borda fosse muito maior, aplicando a relação trigonométrica com um valor de ângulo grande demais. Não percebe que a inclinação deve ser pequena para o líquido não transbordar cedo.

B Erradaerro: Conceitual

Confunde seno com cosseno e calcula o ângulo complementar de 30°, obtendo 60° como se cos(theta) = 1/2 fosse a condição da altura de 5 cm.

C Erradaerro: Senso comum

Supõe que a inclinação de 45° é a bissetriz natural do hemisfério e a usa por intuição, sem relacionar a altura de 5 cm com a borda do recipiente.

D Correta

CORRETA. O ângulo de 30° é o valor que satisfaz a relação trigonométrica entre a profundidade do líquido (5 cm) e o raio do hemisfério (10 cm), indicando a inclinação máxima antes do líquido derramar.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

geometria espacial e trigonometria

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

propriedades de círculos e hemisférios · trigonometria básica

📚 Reveja

estude cálculo de ângulos em sólidos geométricos e propriedades de hemisférios

⚠️ Erro mais comum

confundir a profundidade do líquido com o raio do hemisfério ou aplicar fórmula errada para o ângulo de inclinação

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.

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