Em um jogo, uma pessoa embaralha 20 cartas, numeradas de 1 a 20, e as coloca com os números voltados para…

Questão

Em um jogo, uma pessoa embaralha 20 cartas, numeradas de 1 a 20, e as coloca com os números voltados para baixo sobre um tabuleiro, conforme ilustrado a seguir. Em seguida, essa pessoa escolhe uma soma S e vira duas cartas. Se a soma dos números dessas cartas for igual a S, esse par de cartas é retirado do tabuleiro; caso não, as cartas são recolocadas em sua posição inicial. Esse procedimento é repetido até que todos os pares com soma S sejam retirados do tabuleiro. O maior valor de S para que apenas quatro cartas sobrem no tabuleiro é igual a: (UERJ 2027)

1. A) 17
2. B) 19
3. C) 23
4. D) 25

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Cada rodada bem-sucedida retira um par de cartas cuja soma é S. Se restam 4 cartas no tabuleiro, foram retiradas 16 cartas, ou seja, exatamente 8 pares com soma S. Passo 2: Para contar os pares, considere a menor carta a de cada par, com a menor que b, a + b = S e ambos entre 1 e 20. Então a varia de max(1, S - 20) até o maior inteiro menor que S/2. Passo 3: Para S = 25, a varia de 5 a 12, formando os pares 5-20, 6-19, 7-18, 8-17, 9-16, 10-15, 11-14 e 12-13. São 8 pares, que retiram 16 cartas e deixam as cartas 1, 2, 3 e 4 no tabuleiro. Passo 4: Para valores maiores que 25, o número de pares com soma S diminui: S = 26 tem 7 pares (a de 6 a 12), S = 27 tem 7 pares (a de 7 a 13) e S = 28 tem 6 pares (a de 8 a 13). Assim, nenhum S maior que 25 retira exatamente 8 pares. Passo 5: A alternativa A (17) também deixa 4 cartas, pois tem 8 pares (a de 1 a 8), mas não é o maior valor de S. Passo 6: A alternativa B (19) tem 9 pares (a de 1 a 9), o que deixa apenas 2 cartas no tabuleiro. Passo 7: A alternativa C (23) tem 9 pares (a de 3 a 11), o que também deixa apenas 2 cartas. Passo 8: Portanto, o maior valor de S que deixa exatamente quatro cartas é 25, alternativa D.

💡 Dica: Analise as somas possíveis e quantas cartas sobram para cada valor de S.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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