Considere a sequência (a_n) = (2, 3, 1, -2, ...), n ? IN*, com 70 termos, cuja fórmula de recorrência é: a_n =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere a sequência (a_n) = (2, 3, 1, -2, ...), n ? IN*, com 70 termos, cuja fórmula de recorrência é: a_n = a_{n-1} - a_{n-2} O último termo dessa sequência é: (UERJ 2018)
- A) 1
- B) 2
- C) –1
- D) –2
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Calcule os primeiros termos usando a recorrência a_n = a_(n-1) - a_(n-2), com a1 = 2 e a2 = 3. Temos a3 = 3 - 2 = 1, a4 = 1 - 3 = -2, a5 = -2 - 1 = -3, a6 = -3 - (-2) = -1, a7 = -1 - (-3) = 2 e a8 = 2 - (-1) = 3. Passo 2: Observe que a7 = 2 e a8 = 3 repetem a1 e a2, portanto a sequência é periódica com período 6, formando o ciclo 2, 3, 1, -2, -3, -1. Passo 3: Para descobrir o 70º termo, divida 70 por 6. Como 70 = 6 x 11 + 4, o resto é 4, e o 70º termo corresponde ao 4º termo do ciclo. Passo 4: O 4º termo é a4 = -2. Assim, o último termo é -2, que é a alternativa D, em concordância com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: a alternativa A (1) é o 3º termo do ciclo, não o 4º; a alternativa B (2) é o 1º termo do ciclo, e só apareceria se a posição fosse múltipla de 6; a alternativa C (-1) é o 6º termo do ciclo, que corresponde a posições múltiplas de 6.
💡 Dica: Use a fórmula de recorrência para calcular os termos até o 70º.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula corretamente a sequência, mas associa a posição 70 ao 3º termo do ciclo, provavelmente por contar mal o resto da divisão ou por trocar a posição final do ciclo.
O aluno supõe que o 70º termo cai no início do ciclo, como se 70 fosse equivalente a 1 módulo 6, ou confunde o último termo com o primeiro valor da sequência.
Por que engana: O aluno pode confundir a ordem dos termos na recorrência ou esquecer de aplicar corretamente a fórmula para os termos iniciais.
O aluno considera que 70 é múltiplo de 6 e que o último termo é o fim do ciclo, ignorando o resto 4 da divisão de 70 por 6.
CORRETA. O termo de número 70 coincide com o quarto termo da sequência, que é –2, devido à periodicidade de 5 termos identificada na relação de recorrência.
Raio-X da questão
sequência recursiva, termo geral
avaliacao
sequência numérica · recorrência matemática
Estude sequências e séries, especialmente recorrências lineares.
O aluno pode confundir a ordem dos termos na recorrência ou esquecer de aplicar corretamente a fórmula para os termos iniciais.
tomada_decisao
abstrato
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