MatemáticaUERJBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Em uma reunião, trabalhadores de uma indústria decidiram fundar um sindicato com uma diretoria escolhida entre…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Em uma reunião, trabalhadores de uma indústria decidiram fundar um sindicato com uma diretoria escolhida entre todos os presentes e composta por um presidente, um vice-presidente e um secretário. O número total de possibilidades de composição dessa diretoria é trinta vezes o número de pessoas presentes nessa reunião. O número de trabalhadores presentes é: (UERJ 2021)

A) 13
B) 11
C) 9
D) 7

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

Seja n o número de trabalhadores presentes. A diretoria tem três cargos distintos (presidente, vice-presidente e secretário), e a ordem importa, pois cada pessoa ocupa um cargo diferente. Assim, o número de composições é um arranjo: n(n-1)(n-2).
O enunciado diz que esse total é trinta vezes o número de pessoas, ou seja, n(n-1)(n-2) = 30n.
Como n é diferente de zero, podemos dividir os dois lados por n, obtendo (n-1)(n-2) = 30.
Desenvolvendo, n^2 - 3n + 2 = 30, logo n^2 - 3n - 28 = 0.
Fatorando, (n-7)(n+4) = 0. As raízes são n = 7 e n = -4. Como o número de pessoas não pode ser negativo, n = 7.
Verificação: 7 x 6 x 5 = 210 e 30 x 7 = 210. Confere.
Por que as outras estão erradas: a alternativa A (13) dá 13 x 12 x 11 = 1716, muito maior que 30 x 13 = 390; a alternativa B (11) dá 11 x 10 x 9 = 990, enquanto 30 x 11 = 330; a alternativa C (9) dá 9 x 8 x 7 = 504, enquanto 30 x 9 = 270.
Conclusão: o número de trabalhadores presentes é 7, alternativa D, que coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Use permutação para calcular as possibilidades de diretoria.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimentala que mais engana

O aluno provavelmente tratou a composição da diretoria como um produto de três fatores consecutivos sem igualar corretamente a condição, ou resolveu (n-1)(n-2) = 30 de forma errada, chegando a um valor de n sem verificar a substituição na equação original.

Por que engana: Confundir permutação com combinação ou não multiplicar as possibilidades para cada cargo.

B Erradaerro: Atenção

O aluno provavelmente errou no cálculo do produto ou na comparação com 30n, verificando de forma incorreta se 11 x 10 x 9 é igual a 30 x 11. Não percebeu que os dois lados diferem em ordem de grandeza.

C Erradaerro: Conceitual

O aluno provavelmente confundiu arranjo com combinação, tratando a escolha da diretoria como se a ordem dos cargos não importasse, ou adotou uma montagem incorreta da equação que não corresponde ao enunciado.

D Correta

CORRETA. Para n=7, P(7,3) = 7*6*5 = 210, que é exatamente 30 vezes 7 (30*7=210).

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ situacional🧩 progressao

🎯 Conceito central

Permutação e contagem

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

Princípio fundamental da contagem · Permutação simples

📚 Reveja

Estude permutação e arranjo simples

⚠️ Erro mais comum

Confundir permutação com combinação ou não multiplicar as possibilidades para cada cargo.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

cotidiano

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