— Precisamos definir o conselho estudantil, disse a diretora. Há quatro alunos interessados em três cargos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Precisamos definir o conselho estudantil, disse a diretora. Há quatro alunos interessados em três cargos distintos: presidente, vice e secretário. Cada cargo deve ser ocupado por um aluno diferente. Para assegurar transparência, a escola registrou todas as sequências possíveis de atribuição dos cargos aos candidatos. Analise o texto-base e determine de quantas formas distintas o conselho pode ser formado.
- A) 6
- B) 64
- C) 12
- D) 24
- E) 4
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A questão pede o número de maneiras de distribuir três cargos distintos (presidente, vice e secretário) entre quatro alunos, de modo que cada cargo seja ocupado por um aluno diferente. Como a ordem importa (presidente, vice e secretário são cargos diferentes), trata-se de um arranjo de 4 elementos tomados 3 a 3. Passo 2: Para o presidente há 4 escolhas possíveis. Depois de escolhido o presidente, restam 3 alunos para o cargo de vice. Depois de escolhidos presidente e vice, restam 2 alunos para o cargo de secretário. Passo 3: Pelo princípio multiplicativo, o total é 4 x 3 x 2 = 24. Passo 4: Conferindo com a fórmula de arranjo, A(4,3) = 4! / (4 - 3)! = 24 / 1 = 24. Passo 5: A alternativa A (6) está errada, pois ignora o quarto candidato. A alternativa B (64) está errada, pois permitiria que um mesmo aluno ocupasse mais de um cargo, o que o enunciado proíbe. A alternativa C (12) está errada, pois considera apenas dois cargos preenchidos. A alternativa E (4) está errada, pois corresponde apenas ao número de candidatos, sem considerar a ordem dos cargos. O gabarito oficial D está correto.
💡 Dica: Calcule as permutações de 4 alunos em 3 cargos distintos.
Alternativa por alternativa
O aluno pensa que basta permutar os três cargos entre três alunos, como se 3! fosse o total, e esquece que há quatro candidatos disponíveis para as escolhas.
O aluno calcula 4 x 4 x 4, permitindo que o mesmo aluno ocupe mais de um cargo, ignorando a condição de que cada cargo deve ser ocupado por um aluno diferente.
O aluno multiplica apenas 4 x 3 e esquece a etapa do terceiro cargo, o que equivale a formar uma diretoria com apenas dois cargos preenchidos.
Por que engana: Confundir permutação com combinação ou não considerar que os cargos são distintos e ocupados por alunos diferentes.
Aplica o princípio multiplicativo: 4×3×2=24 formas distintas.
O aluno toma o número de candidatos como resposta final, sem perceber que a questão pede a quantidade de formas de atribuir os cargos, o que depende da ordem e não apenas de quantas pessoas existem.
Raio-X da questão
Permutação e arranjo simples
avaliacao
Princípio fundamental da contagem · Noções básicas de permutação
Estude permutação e arranjo simples para contagem de possibilidades.
Confundir permutação com combinação ou não considerar que os cargos são distintos e ocupados por alunos diferentes.
tomada_decisao
cotidiano
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