Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão…

Questão

Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura. Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo. A soma V + F + A é igual a: (UERJ 2016)

1. A) 102
2. B) 106
3. C) 110
4. D) 112

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Lembre as características de um dodecaedro regular: 12 faces pentagonais, 20 vértices e 30 arestas. Cada vértice liga 3 arestas e cada face tem 5 arestas. Passo 2: Ao justapor os dois dodecaedros por uma face pentagonal que coincide perfeitamente, essa face deixa de existir no poliedro externo, pois fica no interior do sólido. Os 5 vértices e as 5 arestas dessa face são compartilhados pelos dois sólidos. Passo 3: Vértices: cada dodecaedro tem 20 vértices, mas 5 são comuns, então V = 20 + 20 - 5 = 35. Passo 4: Arestas: cada dodecaedro tem 30 arestas, e 5 são comuns às duas figuras, então A = 30 + 30 - 5 = 55. Passo 5: Faces: cada dodecaedro tem 12 faces, mas a face colada desaparece nos dois, então F = (12 - 1) + (12 - 1) = 22. Passo 6: Conferência com a relação de Euler para poliedros convexos e de gênero zero: V - A + F = 35 - 55 + 22 = 2, o que confirma os valores. Passo 7: Soma pedida: V + F + A = 35 + 22 + 55 = 112, alternativa D. Por que as outras estão erradas: a alternativa A (102) não corresponde a nenhuma contagem correta de vértices, faces e arestas do poliedro; a alternativa B (106) resulta de uma contagem em que as arestas ou os vértices compartilhados não foram descontados corretamente; a alternativa C (110) surge de um erro na contagem de faces, mantendo a face colada como se ainda existisse em um dos sólidos.

💡 Dica: Calcule V, F e A dos dodecaedros e ajuste pela justaposição das faces.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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