— Geometria sólida pode parecer abstrata, mas é fascinante observar suas relações, disse o professor ao exibir…

Questão

— Geometria sólida pode parecer abstrata, mas é fascinante observar suas relações, disse o professor ao exibir a imagem. Ela mostra o dual do icosaedro, um poliedro azul de faces pentagonais (o dodecaedro) conectado pela malha vermelha de um icosaedro. Os alunos discutem as características dos dois sólidos e anotam o número de vértices e faces de cada um. Sabem que o icosaedro tem 12 vértices e 20 faces. Considere o texto e a imagem e use a fórmula de Euler (V + F = E + 2) para o dual do icosaedro. Qual é o número de arestas desse poliedro?

1. A) 42
2. B) 32
3. C) 24
4. D) 30
5. E) 20

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Identifique o dual. O dual do icosaedro e o dodecaedro, o poliedro de faces pentagonais citado no enunciado. Pela regra da dualidade, os vertices do dual correspondem as faces do icosaedro, e as faces do dual correspondem aos vertices do icosaedro.
2. Determine V e F do dual. Como o icosaedro tem 20 faces, o dodecaedro tem 20 vertices. Como o icosaedro tem 12 vertices, o dodecaedro tem 12 faces. Logo V = 20 e F = 12.
3. Aplique a formula de Euler, V + F = E + 2. Temos 20 + 12 = E + 2, ou seja, 32 = E + 2. Portanto E = 30.
4. Confira. O dodecaedro tem 30 arestas, e o icosaedro, que e seu dual, tambem tem 30, o que faz sentido, pois a dualidade preserva o numero de arestas.
5. Por que as outras alternativas estao erradas. A) 42 nao resulta de nenhuma relacao correta entre V, F e E do dual. B) 32 e apenas V + F, sem descontar os 2 da formula de Euler. C) 24 nao corresponde a soma nem a diferenca de V e F. E) 20 e apenas o numero de vertices do dual, que nao e o numero de arestas.

💡 Dica: Use a fórmula de Euler e as informações do texto para calcular as arestas do dual.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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