Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a distância entre seus centros A e B igual a 11 cm, como…

Questão

Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a distância entre seus centros A e B igual a 11 cm, como mostra o esquema: Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 voltas no mesmo tempo em que a maior dá 375 voltas, e que os comprimentos dos dentes de ambas têm valores desprezíveis. A medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor equivale a: (UERJ 2014)

1. A) 2,5
2. B) 3,0
3. C) 3,5
4. D) 4,0

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Identifique os dados. A distância entre os centros é 11 cm, então r + R = 11, onde r é o raio da engrenagem menor e R o raio da maior. A menor dá 1000 voltas e a maior dá 375 voltas no mesmo tempo. Como as engrenagens se encaixam, supõe-se o contato externo (tangente), pelo esquema usual dessa questão.
2. Relacione o comprimento percorrido pelos dentes. Em engrenagens engrenadas, a quantidade de dentes que passa pelo ponto de contato é a mesma para as duas, logo o comprimento percorrido na borda é igual. Na borda da menor, em N1 = 1000 voltas, o comprimento é 1000 x 2 x pi x r. Na borda da maior, em N2 = 375 voltas, o comprimento é 375 x 2 x pi x R.
3. Iguale os comprimentos: 1000 x 2 x pi x r = 375 x 2 x pi x R. Cancelando 2 x pi, fica 1000r = 375R, ou seja, R = 1000r/375 = 8r/3.
4. Substitua na soma dos raios: r + 8r/3 = 11. Então 3r/3 + 8r/3 = 11, ou seja, 11r/3 = 11, e portanto r = 3 cm.
5. Verifique: R = 8 x 3/3 = 8 cm, e r + R = 3 + 8 = 11 cm, como o enunciado exige. A alternativa correta é a B (3,0), que coincide com o gabarito oficial.
6. Por que as outras estão erradas: A (2,5) daria R = 8,5 cm, que não respeita a proporção de voltas; C (3,5) daria R = 7,5 cm, que também não satisfaz a relação 1000r = 375R; D (4,0) daria R = 7 cm, com soma de raios igual a 11 mas proporção de voltas incompatível com o contato entre as engrenagens.

💡 Dica: Use a relação entre velocidades angulares e raios das engrenagens para calcular o raio menor.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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