Um cristal com a forma de um prisma hexagonal regular, após ser cortado e polido, deu origem a um sólido de 12…

Questão

Um cristal com a forma de um prisma hexagonal regular, após ser cortado e polido, deu origem a um sólido de 12 faces triangulares congruentes. Os vértices desse poliedro são os centros das faces do prisma, conforme representado na figura. Calcule a razão entre os volumes do sólido e do prisma. Calcule a razão entre os volumes do sólido e do prisma. (UERJ 2013)

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

O poliedro é formado por duas pirâmides hexagonais regulares congruentes. Cada uma tem metade da altura do prisma original. Sejam a a medida das arestas da base do prisma e a' a medida das arestas das bases das pirâmides que compõem o poliedro. Sejam ainda h e h' as medidas da altura do prisma e da altura das pirâmides, respectivamente. Valem as relações a' = (v3 / 2) a e h' = h / 2. Então B' / B = (a' / a)² = 3 / 4, sendo B a área da base do prisma e B' a área da base das pirâmides. Desse modo, obtêm-se os volumes V do prisma e V' do poliedro como V = B × h e V' = (2 / 3) B' × h'. Portanto, V' / V = (2 / 3) × (B' / B) × (h' / h) = (2 / 3) × (3 / 4) × (1 / 2) = 1 / 4.

Explicação

Utilizar a relação entre o prisma e seu poliedro dual, calcular o volume do prisma e do sólido usando propriedades geométricas e simetrias, e então determinar a razão entre os volumes.

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Dados ilustrativos: Em uma feira de ciências na escola, dois modelos de prismas foram exibidos sobre mesas. O primeiro é…
• Durante a montagem de uma exposição sobre embalagens sustentáveis, duas peças transparentes chamaram a atenção: uma é um…
• Um prisma reto tem base um hexágono regular de lado a = 2,00 m e altura H = 3,00 m. Sabendo que a área do hexágono é A =…
• Um sólido é uma pirâmide quadrangular regular sobre base 6 cm × 6 cm. As vistas mostram: planta — quadrado 6×6; frente —…
• Ao trocar a base de um prisma de pentagonal para hexagonal, analise a consequencia nas quantidades do solido.
• Um sólido tem a forma de um prisma triangular reto. Sua base é o triângulo desenhado no plano xz, com vértices (0,0)…