Dados de um projeto de arte na escola mostram que a coordenação recebeu 60 marcadores azuis e 90 marcadores…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dados de um projeto de arte na escola mostram que a coordenação recebeu 60 marcadores azuis e 90 marcadores vermelhos para montar kits. Cada kit deve conter a mesma quantidade de marcadores de cada cor e usar todos os marcadores sem sobrar. Os organizadores querem determinar todas as possíveis configurações de kits que atendam a essas regras. Conclua quantas configurações de kits de marcadores podem ser montadas seguindo as regras do texto.
- A) 12 configurações
- B) 4 configurações
- C) 15 configurações
- D) 6 configurações
- E) 8 configurações
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Entenda a condição. Cada kit deve ter a mesma quantidade de marcadores azuis e a mesma quantidade de vermelhos, e todos os 60 azuis e 90 vermelhos devem ser usados. Se houver k kits, então k deve dividir 60 (azuis) e também 90 (vermelhos). Passo 2: Logo, k deve dividir o máximo divisor comum de 60 e 90. Como 60 = 2^2 x 3 x 5 e 90 = 2 x 3^2 x 5, temos mdc(60, 90) = 2 x 3 x 5 = 30. Passo 3: Os divisores de 30 são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30, ou seja, 8 valores possíveis para o número de kits. Cada um deles gera uma configuração válida: por exemplo, com 5 kits, cada kit tem 12 azuis e 18 vermelhos; com 30 kits, cada kit tem 2 azuis e 3 vermelhos. Passo 4: Portanto há 8 configurações, o que corresponde à alternativa E, que coincide com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as demais estão erradas: A (12) conta os divisores de 60 e ignora a restrição dos 90 vermelhos; B (4) considera apenas os fatores primos de 30 mais o 1, confundindo divisor com fator primo; C (15) lista valores que não correspondem a uma contagem completa e correta dos divisores de 30; D (6) exclui arbitrariamente os casos de 1 kit e de 30 kits, que são configurações válidas pelas regras do enunciado.
💡 Dica: Calcule o máximo divisor comum entre 60 e 90 para encontrar as configurações possíveis.
Alternativa por alternativa
O aluno contou os divisores de 60, que é o número de azuis, e não levou em conta que os 90 vermelhos também precisam ser divididos igualmente entre os kits. Assim, usou apenas uma das restrições.
Por que engana: O aluno pode confundir múltiplos com divisores ou não aplicar corretamente o conceito de máximo divisor comum.
O aluno confundiu divisores com fatores primos, considerando apenas 2, 3 e 5 (e o 1), o que dá 4 valores e deixa de fora combinações como 6, 10, 15 e 30.
O aluno calculou corretamente o máximo divisor comum, mas fez a listagem ou a contagem dos divisores de forma incompleta ou com erro, chegando a um total que não corresponde aos divisores de 30.
O aluno listou corretamente os divisores de 30, mas removeu o 1 e o 30 sem justificativa, quando um kit único ou 30 kits também atendem às regras de uso total e de quantidade igual por kit.
O número de configurações é igual ao número de divisores de gcd(60,90)=30, e 30 tem 8 divisores.
Raio-X da questão
máximo divisor comum
avaliacao
divisores de números inteiros
Estude como calcular o máximo divisor comum (MDC) entre números.
O aluno pode confundir múltiplos com divisores ou não aplicar corretamente o conceito de máximo divisor comum.
tomada_decisao
cotidiano
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