Notas do mestre-artesão Elena revelam que, no revestimento de um salão, cada vértice do mosaico reúne…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Notas do mestre-artesão Elena revelam que, no revestimento de um salão, cada vértice do mosaico reúne exatamente um triângulo equilátero e dois polígonos regulares congruentes. Para qualquer polígono regular de k lados, o valor de seu ângulo interno é (k–2)·180/k graus. Sabendo que, em cada vértice, a soma dos três ângulos internos deve ser 360°, o mestre anotou a equação que relaciona k a essa condição. Conclua o valor de k que permite completar o ladrilhamento descrito, em que um triângulo equilátero e dois polígonos regulares de k lados se encontram em cada vértice.
- A) 8
- B) 10
- C) 12
- D) 9
- E) 6
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- O triângulo equilátero tem ângulos internos de 60 graus, pois a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180 graus e os três são iguais (180/3 = 60). Passo 2: Cada polígono regular de k lados tem ângulo interno (k-2)·180/k graus. Como são dois polígonos congruentes, cada vértice recebe dois desses ângulos. Passo 3: A equação do vértice é 60 + 2·(k-2)·180/k = 360. Passo 4: Isolando o termo com k, obtemos 2·(k-2)·180/k = 300, ou seja, (k-2)·360/k = 300. Passo 5: Multiplicando por k, temos 360k - 720 = 300k, logo 60k = 720 e k = 12. Passo 6: Conferindo, o dodecágono regular tem ângulo interno de 150 graus; 60 + 150 + 150 = 360, o que confirma o ladrilhamento. Passo 7: Por que as outras estão erradas: k = 8 (135 graus) gera 60 + 270 = 330; k = 10 (144 graus) gera 60 + 288 = 348; k = 9 (140 graus) gera 60 + 280 = 340; k = 6 (120 graus) gera 60 + 240 = 300, e nenhuma dessas somas chega a 360. O gabarito oficial C está correto.
💡 Dica: Use a fórmula do ângulo interno e a soma dos ângulos no vértice para montar e resolver a equação.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente aplicou a fórmula do ângulo interno para k = 8, obteve 135 graus, mas não somou corretamente o ângulo do triângulo ou não tratou os dois polígonos, chegando a uma soma incompatível com 360.
O aluno calculou o ângulo interno do decágono (144 graus), mas esqueceu de conferir o total: 60 + 2·144 = 348, valor próximo de 360 que ele pode ter aceitado sem verificar exatamente.
Por que engana: Confundir a fórmula do ângulo interno ou somar incorretamente os ângulos no vértice, levando a valor errado de k.
Para k=12, ângulo interno=150°; 60°+2·150°=360°, permitindo o ladrilhamento plano.
O aluno considerou o eneágono (140 graus) e fez a soma 60 + 2·140 = 340, sem perceber que o valor fica abaixo de 360; pode ter usado o ângulo do polígono como se fosse único ou arredondado a conta.
O aluno associou o ladrilhamento ao hexágono regular, cujo ângulo interno é 120 graus e que se encaixa em três unidades por vértice, sem considerar que aqui há um triângulo e dois polígonos; a soma 60 + 240 = 300 não fecha 360.
Raio-X da questão
ângulos internos polígonos regulares
avaliacao
ângulos internos polígonos regulares · equações algébricas simples
estude cálculo de ângulos internos e soma de ângulos em polígonos
Confundir a fórmula do ângulo interno ou somar incorretamente os ângulos no vértice, levando a valor errado de k.
pensamento_critico
abstrato
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