Uma pesquisa meteorológica fictícia sobre uma cidade do hemisfério Norte utiliza o modelo D(d) = 12 + 3…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, movimentos cíclicos, entre outros) e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de álgebra e geometria.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma pesquisa meteorológica fictícia sobre uma cidade do hemisfério Norte utiliza o modelo D(d) = 12 + 3 sen(2p(d - 80)/364), em que D(d) representa o número de horas diárias de luz solar e d é o número do dia do ano, com d = 1 em 1º de janeiro. Nesse modelo, 12 horas correspondem à duração média diária de luz, e os equinócios são definidos como os dias em que a duração da luz solar é exatamente igual à média anual. O número 364 representa o período anual adotado pelo modelo. Com base no modelo apresentado, em quais dias do ano ocorrem os equinócios previstos para essa cidade?
- A) 22 de março e 19 de setembro
- B) 21 de março e 19 de setembro
- C) 20 de março e 18 de setembro
- D) 21 de março e 20 de setembro
- E) 19 de março e 17 de setembro
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- A duração da luz é igual à média anual (12 horas) quando o termo senoidal é zero, ou seja, quando 3 sen(2p(d - 80)/364) = 0. Isso ocorre quando sen(2p(d - 80)/364) = 0, o que acontece para argumentos múltiplos de p. Assim, 2p(d - 80)/364 = k·p, com k inteiro, e então d - 80 = 182k.
- Para k = 0, temos d = 80. Para k = 1, temos d = 262. Para k = -1, temos d = -102, fora do intervalo de 1 a 364. Para k = 2, temos d = 444, também fora do intervalo. Logo, os dias candidatos são d = 80 e d = 262.
- Convertendo o dia 80 em data, em um ano comum: janeiro tem 31 dias, fevereiro tem 28, somando 59. Como 80 - 59 = 21, o dia 80 é 21 de março.
- Convertendo o dia 262: até o fim de agosto há 243 dias (31+28+31+30+31+30+31+31). Como 262 - 243 = 19, o dia 262 é 19 de setembro.
- Portanto os equinócios previstos são 21 de março e 19 de setembro, que é exatamente a alternativa B, coincidindo com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A troca o dia 21 de março por 22; C desloca ambas as datas em um dia para antes; D acerta março, mas erra setembro ao indicar 20; E desloca as duas datas em dois dias para antes.
💡 Dica: Identifique quando o valor da função iguala a média anual para encontrar os equinócios.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente contou os dias de março a partir de um ponto deslocado em um dia, chegando a 22 de março para d = 80, e acertou o cálculo de setembro sem perceber o erro.
Nos equinócios, D(d) = 12. Assim, 12 + 3 sen(2π(d − 80)/364) = 12, o que implica sen(2π(d − 80)/364) = 0. Portanto, o argumento do seno deve ser um múltiplo inteiro de π. No intervalo de um ano, isso ocorre quando d − 80 = 0 e quando d − 80 = 182, isto é, d = 80 e d = 262. O 80º dia do ano é 21 de março, e o 262º dia é 19 de setembro.
O aluno deslocou as duas datas em um dia para antes, possivelmente subtraindo 1 do número do dia em ambos os casos ou usando a contagem de dias a partir de zero.
O aluno acertou o equinócio de março, mas somou 1 dia ao cálculo de setembro, obtendo 20 de setembro em vez de 19, provavelmente por erro na contagem dos dias do mês de agosto.
O aluno deslocou as duas datas em dois dias para antes, sugerindo que aplicou a relação d - 80 com uma referência de data errada, como tomar o dia 1 como 31 de dezembro.
Raio-X da questão
função trigonométrica e equinócios
avaliacao
funções trigonométricas básicas · interpretação de gráficos e funções
Estude funções trigonométricas e interpretação de fenômenos periódicos.
Confundir o significado do termo médio com os pontos de zero da função seno, levando a datas incorretas para os equinócios.
pensamento_critico
cientifico
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