Relatório de pesca, 12 julho 2025 — monitoramento das capturas semanais no lago Azul. Na primeira semana…

Questão

Relatório de pesca, 12 julho 2025 — monitoramento das capturas semanais no lago Azul. Na primeira semana, foram capturados 5 kg de peixes. Na segunda semana, 8 kg. Na terceira, 12 kg. Na quarta, 17 kg. Observou-se que o acréscimo entre semanas cresce em 1 kg a cada nova semana: 3 kg do 1° para 2°, 4 kg do 2° para 3°, 5 kg do 3° para 4°, e assim por diante. Os pesquisadores desejam prever quantos quilos serão capturados em qualquer semana futura, usando expressão algébrica. Formule uma expressão algébrica a_n que representa a quantidade de peixes (em kg) capturada na n-ésima semana, conforme o padrão descrito no texto-base.

1. A) a_n = (n(n+1)/2) + 5
2. B) a_n = ((n+2)(n+3)/2)
3. C) a_n = ((n+1)(n+2)/2) + 2
4. D) a_n = ((n+1)(n+2)/2)
5. E) a_n = (n(n+1)/2) + 2

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Os dados são a_1 = 5, a_2 = 8, a_3 = 12 e a_4 = 17. As diferenças entre semanas são 3, 4 e 5, ou seja, a diferença cresce 1 kg a cada semana. Passo 2: Partindo do primeiro termo, a_n = a_1 + soma das diferenças de k = 1 até n-1, sendo cada diferença igual a (k+2). A soma de k de 1 até n-1 é (n-1)n/2 e a soma de 2 repetido (n-1) vezes é 2(n-1). Logo a_n = 5 + n(n-1)/2 + 2(n-1), que simplificado fica a_n = (n^2 + 3n + 6)/2. Passo 3: Conferindo com os dados: para n = 1 temos (1 + 3 + 6)/2 = 5; para n = 2, (4 + 6 + 6)/2 = 8; para n = 3, (9 + 9 + 6)/2 = 12; para n = 4, (16 + 12 + 6)/2 = 17. A expressão reproduz todos os valores. Passo 4: Reescrevendo a alternativa C: (n+1)(n+2)/2 = (n^2 + 3n + 2)/2, e somando 2 obtemos (n^2 + 3n + 6)/2, exatamente a expressão encontrada. Portanto a_n = (n+1)(n+2)/2 + 2 é a alternativa correta, e o gabarito oficial C está certo. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A dá 6 para n = 1, não 5; B dá 6 para n = 1; D dá 3 para n = 1, pois ignora o valor inicial de 5 kg; E dá 3 para n = 1 e não reproduz a sequência.

💡 Dica: Identifique o padrão do acréscimo e formule a expressão algébrica correspondente.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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