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Um cilindro circular reto de altura h e raio da base igual a 1 m está apoiado na base quadrada de uma pirâmide…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT309

Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Um cilindro circular reto de altura h e raio da base igual a 1 m está apoiado na base quadrada de uma pirâmide reta, de aresta da base medindo 8 m e altura igual a 10 m, como mostra a figura. [IMAGEM] Na posição descrita, o maior valor possível de h, em metros, para que o cilindro não ultrapasse o interior da pirâmide, é igual a UNESP - 2026

A) 7,5.
B) 6,0.
C) 6,5.
D) 5,5.
E) 7,0.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

A pirâmide é reta, com base quadrada de aresta 8 m e altura 10 m. O cilindro é reto, com raio da base 1 m, e está apoiado na base da pirâmide, então seu eixo é vertical e coincide com o eixo da pirâmide. Passo 2: Para o cilindro caber no interior da pirâmide, sua base superior, na altura h, precisa estar contida na seção da pirâmide nessa altura. Passo 3: A seção horizontal da pirâmide na altura h é um quadrado semelhante à base, com fator de redução (10 - h)/10. Seu lado é 8(1 - h/10) = 8 - 0,8h. Passo 4: Para que um círculo de raio 1 caiba centrado em um quadrado, o lado do quadrado deve ser no mínimo o diâmetro, ou seja, 2. Como o cilindro é reto e a seção é concêntrica com o eixo, o caso crítico é o círculo centrado. Passo 5: Impõe-se 8 - 0,8h maior ou igual a 2, o que dá 0,8h menor ou igual a 6 e, portanto, h menor ou igual a 7,5. Passo 6: O maior valor possível de h é 7,5 m, alternativa A. Passo 7: Alternativa B (6,0) está errada porque ignora a proporção da seção e trata a redução do lado como se fosse fixa, sem relacioná-la à altura. Passo 8: Alternativa C (6,5) está errada porque usa uma relação incorreta entre a inclinação das faces e a distância do cilindro até a parede. Passo 9: Alternativa D (5,5) está errada porque aplica a redução proporcional de forma incorreta, confundindo o raio com o lado da seção. Passo 10: Alternativa E (7,0) está errada porque não respeita exatamente a condição de que o diâmetro 2 caiba no lado da seção, deixando folga indevida.

💡 Dica: Use as propriedades da pirâmide e do cilindro para relacionar as dimensões e encontrar h máximo.

Alternativa por alternativa

A Correta

O cilindro tem raio 1 m e está apoiado na base quadrada da pirâmide (lado 8 m, altura 10 m). Para que o cilindro fique totalmente dentro da pirâmide, seu topo deve tocar a lateral da pirâmide exatamente no ponto limite. Ao elevar h metros a partir da base, a seção transversal da pirâmide é um quadrado menor, pois forma uma pirâmide semelhante à original. Esse novo quadrado tem lado L dada pela semelhança: (10 - h)/10 = L/8 ? L = 8(10 - h)/10. O cilindro só cabe se L = 2 (diâmetro). Assim: 8(10 - h)/10 = 2 ? (10 - h) = 2.5 ? h = 7.5. Portanto, o maior valor possível de h é 7,5 metros.

B Erradaerro: Procedimentala que mais engana

Subtrai o diâmetro diretamente do lado da base, sem considerar que a seção diminui proporcionalmente com a altura. Isso leva a um valor de altura que não corresponde à redução real da pirâmide.

Por que engana: confundir as dimensões da pirâmide com as do cilindro ou não relacionar corretamente as medidas para encontrar a altura máxima.

C Erradaerro: Conceitual

Calcula a distância do eixo às faces laterais com uma relação trigonométrica incorreta para a inclinação das faces. A condição de encaixe do cilindro é horizontal, e o erro desloca o limite de altura.

D Erradaerro: Procedimental

Aplica a proporção de semelhança sobre o raio do cilindro em vez de sobre o lado da seção, confundindo as grandezas envolvidas. Assim, obtém um limite de altura menor do que o correto.

E Erradaerro: Atenção

Reconhece que a seção deve conter o cilindro, mas usa uma folga ou um valor de referência para o lado da seção que não corresponde exatamente ao diâmetro de 2 m. O resultado é um limite de altura próximo, porém incorreto.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

geometria espacial, cilindro e pirâmide

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

volume e área de sólidos geométricos · semelhança de triângulos

📚 Reveja

estude propriedades de pirâmides e cilindros e relações métricas entre suas dimensões

⚠️ Erro mais comum

confundir as dimensões da pirâmide com as do cilindro ou não relacionar corretamente as medidas para encontrar a altura máxima.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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