Lança-se um dado justo de 6 faces e, independentemente, um spinner com 4 setores numerados 1 a 4…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Lança-se um dado justo de 6 faces e, independentemente, um spinner com 4 setores numerados 1 a 4, equiprováveis. Seja A = 'o dado mostra múltiplo de 3' e B = 'o spinner mostra número ímpar'. Determine P(A), P(B) e P(A n B). Os eventos A e B são independentes? Justifique numericamente.
- A) P(A)=1/6, P(B)=1/4, P(AnB)=1/12. Sim, eventos independentes sempre têm a mesma probabilidade.
- B) P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(AnB)=1/4. Eventos A e B são independentes, pois P(AnB)=P(A)P(B).
- C) P(A)=2/6=1/3, P(B)=2/4=1/2, P(AnB)=1/6. Sim — P(AnB)=P(A)·P(B).
- D) P(A)=2/6, P(B)=2/4, P(AnB)=1/3. Sim, A e B são independentes, pois ambos têm 2 resultados comuns.
- E) P(A)=1/3, P(B)=1/2, P(AnB)=1/3. Não, A e B não são independentes já que possuem resultados em comum.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Espaço amostral do dado: {1, 2, 3, 4, 5, 6}, com 6 resultados igualmente prováveis. Os múltiplos de 3 são 3 e 6, então P(A) = 2/6 = 1/3.
- Espaço amostral do spinner: {1, 2, 3, 4}, com 4 resultados igualmente prováveis. Os números ímpares são 1 e 3, então P(B) = 2/4 = 1/2.
- Como os experimentos são independentes, o espaço amostral conjunto tem 6 x 4 = 24 pares igualmente prováveis. A ocorrência de A e B simultaneamente exige dado em {3, 6} e spinner em {1, 3}, ou seja, 2 x 2 = 4 pares. Logo P(A e B) = 4/24 = 1/6.
- Verificação pela regra do produto para eventos independentes: P(A) x P(B) = 1/3 x 1/2 = 1/6, que é igual a P(A e B). Portanto, A e B são independentes.
- Conferência das alternativas erradas. A alternativa A erra P(A) e P(B) ao contar apenas um resultado, e afirma um critério falso de independência. A alternativa B erra P(A) ao supor que múltiplos de 3 ocorrem em metade dos casos, e P(A e B) = 1/4 não bate com 1/6. A alternativa D erra P(A e B) = 1/3 e justifica a independência de modo incorreto, pois ter o mesmo número de resultados não define independência. A alternativa E erra P(A e B) = 1/3 e conclui dependência apenas porque há resultados em comum, o que não é critério de independência.
- Conclusão: P(A) = 1/3, P(B) = 1/2, P(A e B) = 1/6, e os eventos são independentes, como afirma a alternativa C, que é o gabarito oficial.
💡 Dica: Calcule as probabilidades de A e B separadamente antes de verificar a independência.
Alternativa por alternativa
Considera P(A) = 1/6 e P(B) = 1/4, contando apenas um resultado favorável em cada caso. Além disso, acredita que eventos independentes devem ter a mesma probabilidade.
Por que engana: Confundir a probabilidade de eventos independentes com a soma das probabilidades, ao invés de multiplicá-las.
Trata 'múltiplo de 3' como se ocorresse em metade dos casos, por intuição de sorteio 50/50, sem contar os resultados favoráveis. Por isso encontra P(A e B) = 1/4, valor que não corresponde ao produto correto 1/6.
No dado há 2 resultados múltiplos de 3 (3 e 6) entre 6, logo P(A)=2/6. No spinner há 2 ímpares (1,3) entre 4, P(B)=2/4. Como experimentos são independentes, P(AnB)=P(A)P(B)=1/3·1/2=1/6; o cálculo coincide com a contagem de resultados favoráveis (2·2)/(6·4)=4/24=1/6.
Calcula corretamente P(A) e P(B), mas atribui P(A e B) = 1/3 e justifica a independência dizendo que os eventos têm 'dois resultados comuns'. Confunde ter o mesmo número de resultados com independência, que depende de P(A e B) = P(A) x P(B).
Calcula P(A) = 1/3 e P(B) = 1/2 corretamente, mas tem P(A e B) = 1/3, o que equivale a P(A) e sugere que B contém A. Conclui dependência só porque há resultados em comum, o que não é critério de independência.
Raio-X da questão
probabilidade de eventos
avaliacao
probabilidade de eventos · eventos independentes
Revisar conceitos de probabilidade e eventos independentes.
Confundir a probabilidade de eventos independentes com a soma das probabilidades, ao invés de multiplicá-las.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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