O quilate do ouro é a razão entre a massa de ouro presente e a massa total da peça, multiplicada por 24. Por…

Questão

O quilate do ouro é a razão entre a massa de ouro presente e a massa total da peça, multiplicada por 24. Por exemplo, uma amostra com 18 partes em massa de ouro e 6 partes em massa de outro metal (ou liga metálica) é um ouro de 18 quilates. Assim, um objeto de ouro de 18 quilates tem 3/4 de ouro e 1/4 de outro metal em massa. O ouro é utilizado na confecção de muitos objetos, inclusive em premiações esportivas. A taça da copa do mundo de futebol masculino é um exemplo desses objetos. A FIFA declara que a taça da copa do mundo de futebol masculino é maciça (sem nenhuma parte oca) e sua massa é de pouco mais de 6 kg. Acontece que, se a taça fosse mesmo de ouro e maciça, ela pesaria mais do que o informado. (“O peso da taça”. https://jepmsp.wordpress.com. Adaptado.) Considere que a taça seja feita apenas com ouro 18 quilates, cuja composição é de ouro com densidade 19,3 g/cm³ e uma liga metálica com densidade 6,1 g/cm³, e que o volume da taça é similar ao de um cilindro reto com 5 cm de raio e 36 cm de altura. Utilizando p = 3, se a taça fosse maciça, sua massa teria um valor entre UNESP - 2020

1. A) 30 kg e 35 kg.
2. B) 15 kg e 20 kg.
3. C) 40 kg e 45 kg.
4. D) 10 kg e 15 kg.
5. E) 20 kg e 25 kg.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Calcule o volume da taça, tratado como cilindro reto com raio 5 cm e altura 36 cm, usando p = 3. V = 3 x 5^2 x 36 = 2700 cm³.
2. Chame de m a massa total da taça. Como é de ouro 18 quilates, 3/4 de m é ouro e 1/4 de m é liga metálica. O volume de cada parte é a massa dividida pela densidade: ouro = (3m/4)/19,3 e liga = (m/4)/6,1.
3. Some os volumes e iguale ao volume total: (3m/4)/19,3 + (m/4)/6,1 = 2700. Isso dá m x (0,03886 + 0,04098) = 2700, ou seja, m x 0,07984 = 2700.
4. Isole m: m = 2700 / 0,07984 ≈ 33.800 g, ou cerca de 33,8 kg. Esse valor está entre 30 kg e 35 kg, o que corresponde à alternativa A.
5. Por que as outras estão erradas: B) 15 a 20 kg: inverter as frações de ouro e liga na equação de volumes resulta em cerca de 19,9 kg. C) 40 a 45 kg: tratar as frações de massa como frações de volume gera densidade média 16 g/cm³ e massa de cerca de 43 kg. D) 10 a 15 kg: tomar apenas 1/4 da massa de ouro puro (cerca de 52 kg) confunde a parte da liga com a parte do ouro. E) 20 a 25 kg: trocar os pesos da média ponderada das densidades (0,25 para ouro e 0,75 para liga) leva a densidade de cerca de 9,4 g/cm³ e massa de cerca de 25 kg.

💡 Dica: Calcule o volume do cilindro, depois a massa total usando as densidades e proporções do ouro 18 quilates.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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