Em um modelo matemático para analisar a distribuição de mudas em fileiras de um viveiro comunitário, o total…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e associar progressões aritméticas (PA) a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um modelo matemático para analisar a distribuição de mudas em fileiras de um viveiro comunitário, o total de mudas nas primeiras n fileiras é representado por S_n = 3n² - 2n, em que n é um número natural. A quantidade de mudas em cada fileira forma uma progressão aritmética. Com base no modelo apresentado, o primeiro termo e a razão da progressão aritmética são, respectivamente,
- A) 1 e 7
- B) 6 e 7
- C) 6 e 1
- D) 7 e 1
- E) 1 e 6
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- O primeiro termo da progressão aritmética é a1 = S1, a soma das primeiras 1 fileira. Substituindo n = 1 em S_n = 3n^2 - 2n, temos S1 = 3(1)^2 - 2(1) = 1. Logo, a1 = 1. Passo 2: Calculamos S2 = 3(2)^2 - 2(2) = 12 - 4 = 8. Como S2 = a1 + a2, temos a2 = 8 - 1 = 7. Passo 3: A razão da progressão é r = a2 - a1 = 7 - 1 = 6. Passo 4: Para conferir, a fórmula do termo geral é a_n = 1 + 6(n - 1) = 6n - 5. A soma dos n primeiros termos é n(a1 + an)/2 = n(1 + 6n - 5)/2 = n(6n - 4)/2 = 3n^2 - 2n, que coincide com o modelo dado. Passo 5: Portanto, o primeiro termo é 1 e a razão é 6, o que corresponde à alternativa E. Por que as outras estão erradas: A) apresenta 7 como razão, que é na verdade o segundo termo; B) indica primeiro termo 6, que não corresponde a S1, e razão 7, que é o segundo termo; C) inverte a ordem pedida, trocando primeiro termo e razão; D) usa o segundo termo como primeiro termo e o primeiro termo como razão.
💡 Dica: Use a fórmula da soma da PA para encontrar o primeiro termo e a razão.
Alternativa por alternativa
O aluno confundiu a razão com o segundo termo da progressão, calculando a2 = 7 e usando esse valor como razão.
Por que engana: Confundir a fórmula da soma dos termos com a fórmula do termo geral da PA, ou erro no cálculo da razão.
O aluno tomou 6 como primeiro termo e 7 como razão, misturando a diferença entre termos com o segundo termo da sequência.
O aluno calculou corretamente os valores 1 e 6, mas inverteu a ordem pedida no enunciado, colocando a razão antes do primeiro termo.
O aluno usou o segundo termo (7) como primeiro termo e o primeiro termo (1) como razão, não distinguindo os papéis desses valores na progressão.
O primeiro termo é a soma das mudas da primeira fileira: a_1 = S_1 = 3 · 1² − 2 · 1 = 1. Para obter o termo geral da progressão, calcula-se a_n = S_n − S_{n−1}. Assim, a_n = (3n² − 2n) − [3(n−1)² − 2(n−1)] = 6n − 5. Como a_n = a_1 + (n−1)r = 1 + (n−1)r, também se obtém a_n = 6n − 5 quando r = 6. Portanto, o primeiro termo é 1 e a razão é 6.
Raio-X da questão
progressão aritmética soma termos
avaliacao
progressão aritmética básica · fórmula soma PA
Estude a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética e como encontrar termo inicial e razão.
Confundir a fórmula da soma dos termos com a fórmula do termo geral da PA, ou erro no cálculo da razão.
tomada_decisao
abstrato
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