Na exposição virtual “A Beleza da Matemática”, realizada no Museu do Amanhã, o belo é celebrado como simetria…

Questão

Na exposição virtual “A Beleza da Matemática”, realizada no Museu do Amanhã, o belo é celebrado como simetria matemática, como exemplificado na imagem a seguir. [IMAGEM] No plano cartesiano, dois pontos distintos P e Q são simétricos em relação a uma reta r se as seguintes condições forem simultaneamente atendidas: i) a distância de P a r é igual à distância de Q a r ii) a reta que contém P e Q é perpendicular à reta r Suponha que, no plano que contém a imagem da borboleta, o eixo de simetria r seja dado pela equação de reta y + x = 2. Se P = (-2, 0) é um ponto desse plano, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o ponto simétrico a P em relação à reta r. UEL - 2020

1. A) (0,2)
2. B) (2,0)
3. C) (2,2)
4. D) (2,4)
5. E) (4,2)

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Reescreva a reta r na forma geral: y + x = 2 equivale a x + y - 2 = 0. Passo 2: Verifique se o ponto procurado Q = (x, y) deve satisfazer a condição de ponto médio. O ponto médio M entre P e Q deve pertencer à reta r e a reta PQ deve ser perpendicular a r. Passo 3: Ache o pé da perpendicular de P sobre r. A direção normal de r é (1, 1). Calcule t = (x0 + y0 - 2)/2 = (-2 + 0 - 2)/2 = -2. O pé da perpendicular é M = P - t(1, 1) = (-2, 0) + 2(1, 1) = (0, 2). Passo 4: Como M é o ponto médio de P e Q, Q = 2M - P = (0 - (-2), 4 - 0) = (2, 4). Passo 5: Confira: o ponto médio de P = (-2, 0) e Q = (2, 4) é (0, 2), que satisfaz 0 + 2 = 2, logo está sobre r. O vetor PQ = (4, 4) é paralelo a (1, 1), que é normal a r, logo PQ é perpendicular a r. Passo 6: Por isso a alternativa correta é a D, (2,4), em concordância com o gabarito oficial. Passo 7: Por que as outras estão erradas: A (0,2) é o pé da perpendicular, e não o simétrico; B (2,0) é o simétrico de P em relação ao eixo y, e não em relação a r; C (2,2) não satisfaz a condição de ponto médio sobre r; E (4,2) é o ponto (2,4) com as coordenadas trocadas de posição, e não satisfaz a condição de simetria. A figura da borboleta não é necessária para resolver a questão, pois todos os dados estão no enunciado.

💡 Dica: Use a definição de simetria em relação a uma reta e aplique a fórmula de reflexão de um ponto.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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