MatemáticaFUVESTBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

O reservatório de um caminhão-pipa tem a forma de um cilindro circular reto com eixo horizontal e dimensões…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

O reservatório de um caminhão-pipa tem a forma de um cilindro circular reto com eixo horizontal e dimensões internas de 6 metros de comprimento e 2 metros de diâmetro. Uma escola contratou o serviço do caminhão-pipa para abastecer sua caixa d’água. Após o abastecimento, o motorista percebeu que o reservatório do caminhão estava cheio até 3/4 de sua altura, conforme ilustrado na figura. Qual foi o volume, em metros cúbicos, de água utilizada para abastecer a caixa d’água da escola, sabendo que o reservatório do caminhão estava cheio antes do abastecimento? [FUVEST 2024 - Questão 31] FUVEST - 2024

A) (2 p - 3v3/4)
B) (2 p - 3v3/2)
C) (2 p + 3v3/2)
D) (4 p + v3/4)
E) (4 p + 3v3/2)

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

O reservatório é um cilindro de eixo horizontal, com comprimento 6 m e diâmetro 2 m, logo raio 1 m. O volume total é pi x 1^2 x 6 = 6pi metros cúbicos.
O caminhão estava cheio antes do abastecimento e ficou com água até 3/4 da altura, que é 3/4 x 2 = 1,5 m medidos a partir do fundo. Assim, a parte vazia tem altura 2 - 1,5 = 0,5 m, medida a partir do topo.
A água utilizada é o volume que faltava para encher o reservatório, ou seja, o volume da parte vazia, que é um segmento circular na seção transversal. Como o comprimento é 6 m, basta calcular a área do segmento e multiplicar por 6.
O centro do círculo está a 1 m do topo, e a superfície da água está 0,5 m abaixo do topo, portanto a distância do centro à corda (superfície do líquido) é 0,5 m. Como cos(θ/2) = 0,5/1, temos θ/2 = 60 graus, então o ângulo central é θ = 120 graus = 2pi/3 radianos.
A área do segmento é (r^2/2) x (θ - sen θ) = (1/2) x (2pi/3 - raiz de 3/2) = pi/3 - raiz de 3/4.
O volume utilizado é 6 x (pi/3 - raiz de 3/4) = 2pi - 3 raiz de 3/2 metros cúbicos. Conferindo: o volume que restou é 4pi + 3 raiz de 3/2, e 6pi - (4pi + 3 raiz de 3/2) = 2pi - 3 raiz de 3/2, o que confirma a alternativa B.
Por que as outras estão erradas: A usa uma área de segmento com metade errada do termo do seno; C soma a área do setor com o triângulo em vez de subtrair; D mistura o volume restante com o utilizado e erra o fator do comprimento na parte com raiz; E é o volume de água que restou no caminhão, não o volume utilizado.

💡 Dica: Calcule o volume total do cilindro e subtraia o volume correspondente à altura após o abastecimento.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimentala que mais engana

Calculou a área do segmento usando metade do termo do seno (sen θ / 2 em vez de sen θ), o que reduz o termo com raiz de 3 de 3/2 para 3/4 no volume.

Por que engana: Confundir a fração da altura com a fração do volume, calculando incorretamente o volume total do cilindro.

B Correta

CORRETA. O cálculo correto do volume de água utilizada é (2 p - 3v3/2).

C Erradaerro: Conceitual

Somou a área do setor circular com a área do triângulo, quando a área do segmento exige subtrair o triângulo do setor, o que inverte o sinal do termo com raiz de 3.

D Erradaerro: Procedimental

Confundiu o volume de água que restou com o volume utilizado e ainda tratou o termo com raiz de 3 sem multiplicar corretamente pelo comprimento de 6 m.

E Erradaerro: Interpretação

Marcou o volume de água que permaneceu no caminhão (parte cheia) em vez do volume transferido para a caixa d'água, que corresponde à parte vazia.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

volume de cilindro, fração de altura

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

volume de cilindro · fração de altura

📚 Reveja

Revisar cálculo de volume de cilindro e interpretação de frações em contextos geométricos.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a fração da altura com a fração do volume, calculando incorretamente o volume total do cilindro.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

cotidiano

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