Na teoria musical, o intervalo entre duas notas é medido pela razão entre suas frequências (medidas em Hz). Na…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na teoria musical, o intervalo entre duas notas é medido pela razão entre suas frequências (medidas em Hz). Na escala pitagórica, os intervalos de um tom e de um semitom correspondem, respectivamente, às razões 9/8 e 256/243. A soma de intervalos corresponde ao produto das razões. Por exemplo, no intervalo de dois tons, a razão entre as frequências é de 9/8 . 9/8 = 81/64 . Em um instrumento afinado de acordo com a escala pitagórica, se o intervalo entre uma nota de 220 Hz e outra de 990 Hz é composto por n tons e m semitons, a soma n + m é igual a: [FUVEST 2023 - Questão 36] FUVEST - 2023
- A) 13
- B) 14
- C) 15
- D) 16
- E) 17
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Calcule a razão entre as frequências: 990/220 = 9/2 = 4,5. Passo 2: Como um intervalo de n tons e m semitons corresponde ao produto (9/8)^n . (256/243)^m, a condição é (9/8)^n . (256/243)^m = 9/2. Passo 3: Fatore cada razão em potências de 2 e 3. Temos 9/8 = 3^2 / 2^3, 256/243 = 2^8 / 3^5 e 9/2 = 3^2 / 2^1. Passo 4: Iguale os expoentes de cada primo. Para o 3: 2n - 5m = 2. Para o 2: 8m - 3n = -1. Passo 5: Resolva o sistema. Da primeira equação, n = (2 + 5m)/2. Substituindo na segunda: 8m - 3(2 + 5m)/2 = -1, o que dá 16m - 6 - 15m = -2, logo m = 4 e n = 11. Passo 6: Confira: (9/8)^11 = 3^22 / 2^33 e (256/243)^4 = 2^32 / 3^20, e o produto é 3^2 / 2^1 = 9/2, como exigido. Passo 7: Portanto n + m = 11 + 4 = 15, alternativa C. Por que as outras estão erradas: a alternativa A (13) resulta de um erro de sinal ao isolar os expoentes; a B (14) surge de uma conta de expoentes truncada; a D (16) vem de trocar o sinal de um dos termos do sistema; e a E (17) decorre de aplicar a lógica da temperamento igual de 12 semitons por oitava, que não vale na escala pitagórica.
💡 Dica: Use a propriedade de que a soma dos intervalos corresponde ao produto das razões para encontrar n e m.
Alternativa por alternativa
Errou o sinal ao montar ou resolver o sistema de expoentes e chegou a uma solução que não reproduz a razão 9/2.
Acertou a montagem das equações, mas errou uma multiplicação ou subtração de expoentes ao resolver o sistema, obtendo m ou n incorretos.
Por que engana: O aluno pode confundir a soma de intervalos com a soma de frequências, levando a um cálculo incorreto.
CORRETA. O cálculo correto dos intervalos resulta em 15.
Trocou o sinal de um dos termos ao igualar os expoentes de 2 e 3 e, por isso, chegou a uma combinação de tons e semitons diferente da correta.
Supôs que o intervalo de uma oitava (razão 2) equivale a 12 semitons iguais, como na escala temperada, e não aplicou as razões pitagóricas 9/8 e 256/243.
Raio-X da questão
intervalos musicais, razões, escala pitagórica
avaliacao
razões e proporções · intervalos musicais
Revisar propriedades de razões e produtos, e conceitos básicos da escala pitagórica.
O aluno pode confundir a soma de intervalos com a soma de frequências, levando a um cálculo incorreto.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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