Quando a Lua está em quarto crescente ou quarto minguante, o triângulo formado pela Terra, pelo Sol e pela Lua…

Questão

Quando a Lua está em quarto crescente ou quarto minguante, o triângulo formado pela Terra, pelo Sol e pela Lua é retângulo, com a Lua no vértice do ângulo reto. O astrônomo grego Aristarco, do século III a.C., usou este fato para obter um valor aproximado da razão entre as distâncias da Terra à Lua, d_L, e da Terra ao Sol, d_S. É possível estimar a medida do ângulo a, relativo ao vértice da Terra, nessas duas fases, a partir da observação de que o tempo t_1, decorrido de uma lua quarto crescente a uma lua quarto minguante, é um pouco maior do que o tempo t_2, decorrido de uma lua quarto minguante a uma lua quarto crescente. Supondo que a Lua descreva em torno da Terra um movimento circular uniforme, tomando t_1 = 14,9 dias e t_2 = 14,8 dias, conclui-se que a razão d_L/d_S seria aproximadamente dada por [FUVEST 2016 - Questão 12] FUVEST - 2016

1. A) cos 77,7º
2. B) cos 80,7º
3. C) cos 83,7º
4. D) cos 86,7º
5. E) cos 89,7º

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. No triângulo Terra-Sol-Lua, o ângulo reto está na Lua e o ângulo no vértice da Terra é a. O cateto Terra-Lua (d_L) é adjacente ao ângulo a, e a hipotenusa é a distância Terra-Sol (d_S). Logo cos a = d_L/d_S, e basta determinar o valor de a. Passo 2: Vista da Terra, a Lua forma com a direção Terra-Sol o ângulo a nas duas fases de quarto. Passo 3: Da lua quarto crescente à quarto minguante, passando pela lua cheia, a Lua percorre em relação à direção Terra-Sol um ângulo de 360 - 2a graus. Da lua quarto minguante à quarto crescente, passando pela lua nova, ela percorre 2a graus. Passo 4: Como o movimento é circular uniforme, os ângulos percorridos são proporcionais aos tempos: t2/(t1 + t2) = 2a/360, ou seja, a = 180 · t2/(t1 + t2). Passo 5: Substituindo os dados, a = 180 · 14,8/(14,9 + 14,8) = 180 · 14,8/29,7, o que dá a ≈ 89,7 graus. Passo 6: Portanto d_L/d_S ≈ cos 89,7 graus, que é a alternativa E, gabarito correto. Passo 7: A alternativa A (cos 77,7 graus) estaria certa só se a diferença entre t1 e t2 fosse bem maior, o que não corresponde aos dados. A alternativa B (cos 80,7 graus) resulta de um deslocamento grosseiro de a em relação ao valor calculado. A alternativa C (cos 83,7 graus) aparece se o aluno subestima a fração de tempo associada a 2a. A alternativa D (cos 86,7 graus) é o resultado de um arredondamento excessivo do cálculo do ângulo.

💡 Dica: Use o conceito de movimento circular uniforme e propriedades do triângulo retângulo para relacionar os tempos e as distâncias.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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