Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão S = 1/(2 · log_2 2016) + 1/(5 · log_3 2016) +…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, movimentos cíclicos, entre outros) e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de álgebra e geometria.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão S = 1/(2 · log_2 2016) + 1/(5 · log_3 2016) + 1/(10 · log_7 2016) O valor de S é [FUVEST 2016 - Questão 9] FUVEST - 2016
- A) 1/2
- B) 1/3
- C) 1/5
- D) 1/7
- E) 1/10
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Use a propriedade 1/log_b(a) = log_a(b), que vale para bases diferentes de 1 e positivas. Assim, 1/(2 log_2 2016) = (1/2) log_2016 (2), 1/(5 log_3 2016) = (1/5) log_2016 (3) e 1/(10 log_7 2016) = (1/10) log_2016 (7).
- Multiplique S por 10 para eliminar as frações: 10S = 5 log_2016 (2) + 2 log_2016 (3) + log_2016 (7).
- Use a propriedade do produto do logaritmo e da potência: 10S = log_2016 (2^5 · 3^2 · 7).
- Calcule 2^5 · 3^2 · 7 = 32 · 9 · 7 = 2016. Logo 10S = log_2016 (2016) = 1.
- Portanto S = 1/10, que é a alternativa E, em concordância com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque 1/2 corresponde apenas ao coeficiente do primeiro termo, sem somar os demais. A alternativa B está errada porque 1/3 não surge de nenhuma simplificação correta dos coeficientes 2, 5 e 10. A alternativa C está errada porque 1/5 é apenas o coeficiente do segundo termo. A alternativa D está errada porque 1/7 não é resultado de nenhum passo válido, pois o 7 aparece apenas como fator do 2016.
💡 Dica: Use a mudança de base e propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão.
Alternativa por alternativa
O aluno pode ter considerado só o primeiro termo, ou assumido que o primeiro coeficiente 1/2 já é o resultado total da soma.
O aluno pode ter tentado somar os coeficientes ou fazer uma média inadequada dos denominadores, sem usar corretamente a mudança de base.
O aluno pode ter tomado o coeficiente do segundo termo, 1/5, como resposta, sem simplificar a soma dos três termos.
O aluno pode ter associado o resultado ao número 7 da base do terceiro logaritmo, sem realizar a simplificação completa da expressão.
Por que engana: Confundir a aplicação das propriedades do logaritmo, resultando em um valor incorreto para S.
Incorreta. Simplificação incorreta da expressão.
Raio-X da questão
propriedades do logaritmo
avaliacao
propriedades do logaritmo · mudança de base
Revisar propriedades e mudança de base dos logaritmos.
Confundir a aplicação das propriedades do logaritmo, resultando em um valor incorreto para S.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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