Num levantamento em um bairro com 50 domicílios, 20 têm crianças e 30 não. Serão sorteados aleatoriamente 3…

Questão

Num levantamento em um bairro com 50 domicílios, 20 têm crianças e 30 não. Serão sorteados aleatoriamente 3 domicílios sem reposição. (a) Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos domicílios sorteados tenha crianças. (b) Explique se os sorteios são independentes e como isso afeta o cálculo e o planejamento da amostra.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Calcule o complementar: nenhum dos 3 ter crianças. Número de maneiras de escolher 3 sem crianças = C(30,3) = 4060. Total de maneiras de escolher 3 domicílios = C(50,3) = 19600. Assim P(nenhum) = 4060/19600 = 203/980 ˜ 0,20714. Logo P(pelo menos um) = 1 - 203/980 = 777/980 ˜ 0,79388. Quanto à independência: os sorteios sem reposição são dependentes, pois retirar um domicílio altera as probabilidades dos seguintes; por isso usamos combinatória/condicionamento em vez de multiplicar probabilidades independentes. Para planejamento, se a amostra for pequena frente à população (regra prática: <5%), pode-se aproximar por independência; aqui a fração amostral é 3/50 = 6%, então o efeito da dependência é pequeno, mas deve ser considerado. Alternativas de planejamento incluem aumentar a população-alvo, usar amostragem com reposição para modelos que exigem independência, ou aplicar correção para população finita ao estimar variâncias.

Explicação

O cálculo da probabilidade de pelo menos um domicílio ter crianças é feito utilizando o complemento da probabilidade de nenhum ter, o que é apropriado em situações de amostragem sem reposição. A dependência entre os sorteios ocorre porque a escolha de um domicílio influencia as probabilidades dos seguintes, exigindo o uso de combinatória para obter resultados precisos. Para o planejamento da amostra, é importante considerar a proporção da amostra em relação à população total, pois isso pode afetar a precisão das estimativas.

Raio-X da questão

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