Em uma cidade de 10 000 domicílios, 2 000 aderiram a um programa de reciclagem. Um pesquisador planeja sortear…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma cidade de 10 000 domicílios, 2 000 aderiram a um programa de reciclagem. Um pesquisador planeja sortear sem reposição uma amostra de 150 domicílios. (a) Explique se a seleção de dois domicílios quaisquer na amostra é independente. (b) Escreva a expressão para a probabilidade de exatamente 30 domicílios da amostra pertencerem ao programa e identifique a distribuição apropriada. (c) Discuta quando é aceitável aproximar por binomial e as implicações para estimativas e variância.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
(a) Não são independentes: sem reposição a retirada de um domicílio altera a composição da população e, portanto, a probabilidade condicional da seleção subsequente. (b) A distribuição correta é a hipergeométrica; a probabilidade solicitada é P(X=30)= [C(2000,30)·C(8000,120)] / C(10000,150), onde C(·,·) são combinações. (c) Pode-se aproximar por binomial com n=150 e p=0,2 quando a amostra for pequena frente à população (regra prática: n/N = 0,05), pois então a dependência entre retiradas é desprezível e P(˜)=C(150,30) p^{30}(1-p)^{120}. A escolha afeta a variância: a hipergeométrica apresenta correção para população finita (variância menor que a binomial), portanto, para estimativas pontuais e intervalos de confiança em amostras não negligenciáveis em relação à população, recomenda-se usar a hipergeométrica (ou aplicar correção da população finita ao modelo binomial).
Explicação
A seleção de domicílios sem reposição resulta em dependência, pois a escolha de um afeta a probabilidade de escolha do próximo. A distribuição hipergeométrica é apropriada para situações em que se faz amostragem sem reposição, enquanto a aproximação pela binomial é válida quando a amostra é pequena em relação à população, minimizando a dependência. A variância da hipergeométrica é ajustada para refletir a finitude da população, o que é crucial para a precisão das estimativas.
Raio-X da questão
probabilidade e distribuição
avaliacao
probabilidade · distribuição binomial
Revisar conceitos de probabilidade, distribuição binomial e amostragem.
O aluno pode confundir a independência na seleção de domicílios, acreditando que a seleção de um afeta a probabilidade do próximo, sem considerar a amostra sem reposição.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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