Projete um procedimento para obter os coeficientes a, b e c de um modelo h(t)=at²+bt+c que descreve a altura…

Questão

Projete um procedimento para obter os coeficientes a, b e c de um modelo h(t)=at²+bt+c que descreve a altura (em metros) de um objeto virtual em movimento parabólico com dados de posição em três instantes distintos. Explique como resolver o sistema linear a partir dos três pares (t_i,h_i), como implementar a estimação numa planilha ou num script e como usar o modelo para prever o instante de colisão com o solo (h=0). Inclua fórmulas e passos numéricos claros.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Montagem do sistema: dados três instantes (t1,h1), (t2,h2), (t3,h3), construa o sistema linear a·t1² + b·t1 + c = h1 a·t2² + b·t2 + c = h2 a·t3² + b·t3 + c = h3 2) Resolução algébrica: escreva em forma matricial A·x = y com A = [[t1²,t1,1],[t2²,t2,1],[t3²,t3,1]] e x=[a,b,c]?, y=[h1,h2,h3]?. Calcule x = A?¹·y ou resolva por eliminação de Gauss para obter a, b, c. 3) Implementação em planilha: coloque t e h em colunas; monte a matriz A em células e use funções de matriz/linear regression (por exemplo, no Excel: =MINVERSE(...) e =MMULT(...) ou função LINEST para ajustar segundo grau) ou resolva o sistema com fórmulas de eliminação usando referências de célula. 4) Implementação em script: em Python, por exemplo, use numpy: coeffs = numpy.linalg.solve(A, y) ou numpy.polyfit(t_array, h_array, 2) para ajustar por mínimos quadrados. 5) Prever colisão: com a, b, c obtidos, resolva at² + bt + c = 0 pela fórmula quadrática t = (-b ± sqrt(b² - 4ac)) / (2a). Escolha a(s) raiz(es) reais não negativas; o menor t = 0 representa o instante de colisão. 6) Verificação numérica: avalie h(t) próximo à raiz para confirmar h˜0 e, se necessário, refine com método de Newton ou ajuste adicional quando houver ruído nos dados. 7) Observações práticas: se os dados tiverem erro, use ajuste por mínimos quadrados; para implementações em tempo real, atualize coeficientes incrementalmente ou use filtros para estabilidade.

Explicação

O procedimento descrito fornece um método sistemático para determinar os coeficientes do modelo parabólico a partir de dados experimentais, utilizando álgebra linear e técnicas de ajuste. A implementação em planilhas e scripts permite que o processo seja acessível e replicável, facilitando a análise e a previsão do instante de colisão. Além disso, a verificação numérica e as observações práticas garantem a robustez do modelo em situações reais, considerando possíveis erros nos dados.

Raio-X da questão

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