Uma escola com 360 alunos (180 meninos e 180 meninas) fará uma amostra de 3 alunos. Compare dois…

Questão

Uma escola com 360 alunos (180 meninos e 180 meninas) fará uma amostra de 3 alunos. Compare dois procedimentos: A) sortear 3 alunos sem reposição; B) sortear um aluno, devolver e repetir até obter 3 (com reposição). i) Explique se os eventos “2º sorteio é menino” e “3º sorteio é menino” são independentes em A e em B. ii) Calcule a probabilidade de obter exatamente 2 meninos na amostra de 3 em cada procedimento.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Procedimento B (com reposição): cada sorteio tem P(menino)=180/360=0,5 independentemente dos anteriores; eventos são independentes. Probabilidade de exatamente 2 meninos em 3: C(3,2)*(0,5)^2*(0,5)=3*(0,25)*0,5=0,375. Procedimento A (sem reposição): após sair um menino, a proporção muda (p.ex. P(2º menino | 1º menino)=179/359), logo eventos dependentes. Probabilidade exatamente 2 meninos sem reposição calculada pela hipótese hipergeométrica: [C(180,2)*C(180,1)]/C(360,3) ˜ 2.899.800 / 7.711.320 ˜ 0,3761. Apesar de muito próxima, a diferença mostra dependência quando não há reposição.

Explicação

No procedimento com reposição, a probabilidade de cada sorteio permanece constante, tornando os eventos independentes. Já no procedimento sem reposição, a seleção de um aluno altera a composição da amostra, resultando em eventos dependentes. As probabilidades calculadas refletem essas diferenças, mostrando que a dependência afeta os resultados.

Raio-X da questão

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