Numa urna há 8 bolas: 3 azuis, 2 verdes e 3 vermelhas. Retiram-se duas bolas sem reposição. Seja A='primeira é…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Numa urna há 8 bolas: 3 azuis, 2 verdes e 3 vermelhas. Retiram-se duas bolas sem reposição. Seja A='primeira é azul' e B='segunda é azul'. Calcule P(B|A), P(AnB) e conclua se A e B são dependentes.
- A) P(B|A)=3/8; P(AnB)=3/28; A e B são dependentes.
- B) P(B|A)=1/3; P(AnB)=1/24; A e B são independentes.
- C) P(B|A)=2/7; P(AnB)=3/8·2/7=3/28; são dependentes, pois P(A)P(B)=9/64 ? 3/28.
- D) P(B|A)=1/4; P(AnB)=3/16; são dependentes pois P(A)=3/8.
- E) P(B|A)=1/8; P(AnB)=3/64; A e B são independentes.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Antes de olhar o gabarito, resolvi a questão. Na urna há 8 bolas, sendo 3 azuis. Logo P(A) = 3/8, pois a primeira bola retirada é azul com essa probabilidade. Passo 2: Como a retirada é sem reposição, sobram 7 bolas na urna, e 2 delas são azuis. Assim P(B|A) = 2/7. Passo 3: Pela regra do produto, P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = 3/8 · 2/7 = 6/56 = 3/28. Passo 4: Para verificar a dependência, calculo P(B) sem condicionar. Pela simetria da retirada sem reposição, P(B) = 3/8. O produto P(A)·P(B) = 3/8 · 3/8 = 9/64, que é diferente de 3/28 (cerca de 0,141 contra 0,107). Como P(A∩B) não é igual a P(A)·P(B), os eventos são dependentes. Passo 5: Comparando com o gabarito, a alternativa C coincide com meu resultado: P(B|A) = 2/7, P(A∩B) = 3/28 e dependência. O símbolo '?' na alternativa deveria ser '≠', mas o conteúdo está correto. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A tem P(B|A) = 3/8, que ignora a retirada da primeira bola; B tem P(B|A) = 1/3 e P(A∩B) = 1/24, com cálculo incorreto, e conclui independência indevidamente; D tem P(B|A) = 1/4 e P(A∩B) = 3/16, valores que não correspondem à urna, e justifica a dependência só com P(A); E tem P(B|A) = 1/8 e P(A∩B) = 3/64, valores errados, e conclui independência.
💡 Dica: Calcule as probabilidades usando a fórmula de probabilidade condicional.
Alternativa por alternativa
Considera que P(B|A) é igual a P(B) = 3/8, como se a primeira bola voltasse à urna. Esquece que, sem reposição, a composição das bolas muda após a primeira retirada.
Por que engana: Confundir a probabilidade condicional com a probabilidade total, levando a um cálculo incorreto de P(B|A).
Calcula P(B|A) como 1/3, o que corresponde a 2 azuis em 6 bolas, e multiplica de forma incorreta para obter P(A∩B). Além disso, conclui independência, o que contraria a mudança da composição da urna.
Se a primeira foi azul restam 2 azuis entre 7 bolas ? P(B|A)=2/7. Então P(AnB)=3/8·2/7=3/28. Como P(A)P(B)=(3/8)·(3/8)=9/64?3/28, há dependência.
Afirma que A e B são dependentes apenas porque P(A) = 3/8, sem comparar P(A∩B) com P(A)·P(B). Os valores 1/4 e 3/16 para P(B|A) e P(A∩B) também não correspondem à contagem da urna.
Assume que P(B|A) = 1/8 e que a retirada da primeira bola não afeta a segunda, por isso conclui independência. Essa intuição ignora que a retirada sem reposição altera a composição da urna.
Raio-X da questão
probabilidade condicional
avaliacao
probabilidade básica · probabilidade condicional
Revisar conceitos de probabilidade e eventos dependentes.
Confundir a probabilidade condicional com a probabilidade total, levando a um cálculo incorreto de P(B|A).
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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