Em uma atividade de Matemática sobre a segurança de códigos numéricos, uma turma sorteia, sem reposição, dois…

Questão

Em uma atividade de Matemática sobre a segurança de códigos numéricos, uma turma sorteia, sem reposição, dois números distintos do conjunto formado pelos inteiros de 1 a 20. Considere como número primo aquele que possui exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. No primeiro sorteio, define-se o evento A como “o número sorteado é primo”; no segundo, define-se o evento B como “o número sorteado é primo”. Com base nessa situação, assinale a alternativa que apresenta corretamente a probabilidade de os dois números sorteados serem primos e a relação de independência entre os eventos A e B.

1. A) A probabilidade é 7/19, e os eventos A e B não são independentes.
2. B) A probabilidade é 14/95, e os eventos A e B não são independentes.
3. C) A probabilidade é 7/50, e os eventos A e B não são independentes.
4. D) A probabilidade é 8/20, e os eventos A e B são independentes.
5. E) A probabilidade é 16/95, e os eventos A e B são independentes.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Identifique os primos de 1 a 20. São 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19, ou seja, 8 primos. O número 1 não é primo, pois possui apenas um divisor positivo. Passo 2: Como a amostragem é sem reposição, a probabilidade do primeiro número ser primo é 8/20. Depois desse sorteio restam 19 números, dos quais 7 são primos, então a probabilidade do segundo ser primo, dado que o primeiro foi primo, é 7/19. Passo 3: A probabilidade de os dois serem primos é 8/20 vezes 7/19, que é 56/380, simplificando para 14/95. Passo 4: Para verificar a independência, compare P(B|A) com P(B). P(B|A) é 7/19, aproximadamente 0,368. P(B) é 8/20, ou 0,4, pois sem informação sobre o primeiro sorteio a chance de o segundo ser primo é a mesma do primeiro. Como 7/19 é diferente de 8/20, os eventos não são independentes. Passo 5: Conclusão: a alternativa B está correta, e o gabarito oficial está coerente com a resolução. A alternativa A está errada porque 7/19 é a probabilidade condicional e não a probabilidade conjunta. A alternativa C está errada porque 7/50 não corresponde à contagem correta de primos nem à multiplicação das probabilidades sem reposição. A alternativa D está errada porque 8/20 é a probabilidade de um único sorteio ser primo e, além disso, os eventos não são independentes. A alternativa E está errada porque usa 8 primos no segundo sorteio, ignorando que o primeiro número sorteado foi retirado do conjunto.

💡 Dica: Calcule a probabilidade considerando os números primos no conjunto.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Escolhem-se ao acaso dois números distintos do conjunto {1,2,...,10}, todos os pares equiprováveis. Seja A = 'a soma dos…
• Do conjunto {1,2,...,15} sorteiam-se dois números aleatoriamente, sem reposição, observando-se a ordem. Seja A = 'o 1º…
• Escolhe-se uniformemente uma permutação dos números {1,...,20} e consideram-se os dois primeiros elementos (sem…
• De um conjunto com os números de 1 a 12 escolhem-se, ao acaso e sem reposição, dois números. Defina A = 'a soma dos dois…
• Em uma turma com 20 alunos (10 meninas e 10 meninos), escolhem-se dois alunos ao acaso sem reposição. Defina A='primeiro…
• Do conjunto {1,2,...,12} sorteiam-se três números sem reposição, observando-se a sequência (1º,2º,3º). Seja A = 'os três…

Todas as questões de Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes