Do conjunto {1,2,...,12} sorteiam-se três números sem reposição, observando-se a sequência (1º,2º,3º). Seja A…

Questão

Do conjunto {1,2,...,12} sorteiam-se três números sem reposição, observando-se a sequência (1º,2º,3º). Seja A = 'os três números são múltiplos de 3' e B = 'o 1º número é par'. Calcule P(A n B) e verifique se A e B são independentes.

1. A) P(AnB)=0; A e B são mutuamente exclusivos.
2. B) P(A)=2/6, P(B)=3/12; são dependentes.
3. C) Nº total de sequências=12·11·10=1320. P(A)=24/1320=1/55, P(B)=6/12=1/2, P(AnB)=12/1320=1/110. Como P(A)P(B)=1/110=P(AnB), A e B são independentes.
4. D) P(A)=2/11 e P(B)=1/3, portanto A e B independentes.
5. E) Interseção é 1/55 e A e B são dependentes.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Espaço amostral. Como a ordem importa e não há reposição, o número de sequências é 12 x 11 x 10 = 1320. Passo 2: Evento A (os três números são múltiplos de 3). Os múltiplos de 3 em {1,...,12} são 3, 6, 9 e 12 (quatro números). Para o 1º sorteio há 4 opções, para o 2º há 3 e para o 3º há 2, o que dá 4 x 3 x 2 = 24 sequências. Logo P(A) = 24/1320 = 1/55. Passo 3: Evento B (o 1º número é par). Há 6 pares (2, 4, 6, 8, 10, 12), e a probabilidade do 1º ser par é 6/12 = 1/2. Passo 4: Interseção A e B (os três são múltiplos de 3 e o 1º é par). O 1º número deve ser par e múltiplo de 3, isto é, 6 ou 12 (2 opções). Depois sobram 3 múltiplos de 3 para o 2º sorteio e 2 para o 3º, o que dá 2 x 3 x 2 = 12 sequências. Logo P(A e B) = 12/1320 = 1/110. Passo 5: Teste de independência. P(A) x P(B) = (1/55) x (1/2) = 1/110 = P(A e B). Como o produto é igual à interseção, A e B são independentes. Passo 6: Análise das alternativas erradas. A: a interseção não é vazia, pois 6 e 12 são pares e múltiplos de 3, então os eventos não são mutuamente exclusivos. B: P(A) = 2/6 e P(B) = 3/12 estão incorretos, e a conclusão de dependência também é falsa. D: P(A) = 2/11 e P(B) = 1/3 estão incorretos, embora a conclusão de independência coincida com a resposta certa, por motivo errado. E: a interseção 1/55 é igual a P(A) e não à probabilidade conjunta, e a conclusão de dependência está errada.

💡 Dica: Calcule as probabilidades e verifique a independência.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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